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Maths

23 nov. 2025

223

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Introduction à la dérivation en mathématiques

Eliott @rzm

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La dérivation est un outil essentiel qui permet d'analyser le comportement des fonctions et de calculer des taux... Affiche plus

$# Chapitre S: Dérivation Taux de variation: $T=\frac{δ(b)-δ(a)}{b-a}$ Nombre dérivé de $δ$ en a: $T_h=\frac{δ(a+h)-δ(a)}{h}$ On remplace$

Les bases taux de variation et nombre dérivé

Imagine que tu veuilles mesurer la vitesse instantanée d'une voiture - c'est exactement ce que fait la dérivation ! Le taux de variation entre deux points a et b d'une fonction δ se calcule avec la formule T = $δ(b) - δ(a)$ / $b - a$ .

Pour obtenir le nombre dérivé en un point a, on utilise une astuce géniale on remplace b par "a + h" puis on fait tendre h vers 0. Cela donne la formule Th = $δ(a+h) - δ(a)$ /h.

La dérivée δ'(a) est la limite de ce taux quand h tend vers 0 lim(h→0) $δ(a+h) - δ(a)$ /h = δ'(a). Attention, toutes les fonctions ne sont pas dérivables partout ! Par exemple, la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 car sa limite tend vers +∞.

💡 Astuce Si la limite du taux de variation n'existe pas ou tend vers l'infini, alors la fonction n'est pas dérivable en ce point.

$# Chapitre S: Dérivation Taux de variation: $T=\frac{δ(b)-δ(a)}{b-a}$ Nombre dérivé de $δ$ en a: $T_h=\frac{δ(a+h)-δ(a)}{h}$ On remplace$

Équation de la tangente et fonction carré

La tangente à une courbe au point d'abscisse a a pour équation y = δ'(a) $x - a$ + δ(a). Cette formule te sera super utile pour tes exercices !

Voici comment on la démontre si δ est dérivable en a, le coefficient directeur de la tangente T est δ'(a). L'équation devient donc y = δ'(a)x + p, où p est l'ordonnée à l'origine.

Prenons l'exemple concret de f(x) = x². Son taux de variation entre a et a+h donne Th = $(a+h)² - a²$ /h = $2ah + h²$ /h = 2a + h. Quand h tend vers 0, on obtient f'(x) = 2x.

💡 Méthode Pour démontrer qu'une fonction est dérivable, calcule toujours le taux de variation puis fais tendre h vers 0.

$# Chapitre S: Dérivation Taux de variation: $T=\frac{δ(b)-δ(a)}{b-a}$ Nombre dérivé de $δ$ en a: $T_h=\frac{δ(a+h)-δ(a)}{h}$ On remplace$

Tableau des dérivées usuelles

Voici les formules de dérivation essentielles que tu dois absolument connaître par cœur

Les fonctions de base une constante a donne f'(x) = 0, la fonction ax donne f'(x) = a, et x² donne f'(x) = 2x. Plus généralement, xⁿ donne nxⁿ⁻¹.

Pour les fonctions avec des fractions 1/x donne -1/x², et 1/xⁿ donne -n/xⁿ⁺¹. La fonction racine √x donne 1/(2√x), mais attention, elle n'est dérivable que sur ]0; +∞[.

La démonstration de la fonction inverse f(x) = 1/x illustre parfaitement la méthode le taux de variation donne Th = -1/ $a(a+h)$ , et sa limite quand h→0 est -1/a².

💡 Important Fais attention aux ensembles de dérivabilité - ils peuvent être différents de l'ensemble de définition !

$# Chapitre S: Dérivation Taux de variation: $T=\frac{δ(b)-δ(a)}{b-a}$ Nombre dérivé de $δ$ en a: $T_h=\frac{δ(a+h)-δ(a)}{h}$ On remplace$

Règles de calcul des dérivées

Les règles de dérivation te permettront de calculer rapidement la dérivée de fonctions complexes sans refaire toute la démonstration.

Règles de base $u + v$ ' = u' + v' et (ku)' = ku' où k est une constante. Pour un produit, utilise la formule (uv)' = u'v + v'u - ne confonds pas avec (u'v') !

Pour les quotients, deux cas importants $1/u$ ' = -u'/u² et ( $u/v$ ' = $u'v - v'u$ /v². Cette dernière formule est cruciale pour les exercices de bac.

Enfin, la dérivation composée si tu as f(x) = g $ax + b$ , alors f'(x) = a × g' $ax + b$ . Cette règle te sauvera dans de nombreux calculs !

💡 Conseil Entraîne-toi régulièrement avec ces formules - elles doivent devenir des automatismes.

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

Stefan S

utilisateur iOS

Samantha Klich

utilisatrice Android

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

Sudenaz Ocak

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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Eliott

@rzm

La dérivation est un outil essentiel qui permet d'analyser le comportement des fonctions et de calculer des taux de variation instantanés. Tu vas découvrir comment calculer les dérivées et comprendre leur signification géométrique à travers l'équation de la tangente.

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Les bases : taux de variation et nombre dérivé

Pour obtenir le nombre dérivé en un point a, on utilise une astuce géniale : on remplace b par "a + h" puis on fait tendre h vers 0. Cela donne la formule Th = $δ(a+h) - δ(a)$ /h.

La dérivée δ'(a) est la limite de ce taux quand h tend vers 0 : lim(h→0) $δ(a+h) - δ(a)$ /h = δ'(a). Attention, toutes les fonctions ne sont pas dérivables partout ! Par exemple, la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 car sa limite tend vers +∞.

💡 Astuce : Si la limite du taux de variation n'existe pas ou tend vers l'infini, alors la fonction n'est pas dérivable en ce point.

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Équation de la tangente et fonction carré

La tangente à une courbe au point d'abscisse a a pour équation y = δ'(a) $x - a$ + δ(a). Cette formule te sera super utile pour tes exercices !

Voici comment on la démontre : si δ est dérivable en a, le coefficient directeur de la tangente T est δ'(a). L'équation devient donc y = δ'(a)x + p, où p est l'ordonnée à l'origine.

Prenons l'exemple concret de f(x) = x². Son taux de variation entre a et a+h donne : Th = $(a+h)² - a²$ /h = $2ah + h²$ /h = 2a + h. Quand h tend vers 0, on obtient f'(x) = 2x.

💡 Méthode : Pour démontrer qu'une fonction est dérivable, calcule toujours le taux de variation puis fais tendre h vers 0.

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Voici les formules de dérivation essentielles que tu dois absolument connaître par cœur :

Les fonctions de base : une constante a donne f'(x) = 0, la fonction ax donne f'(x) = a, et x² donne f'(x) = 2x. Plus généralement, xⁿ donne nxⁿ⁻¹.

Pour les fonctions avec des fractions : 1/x donne -1/x², et 1/xⁿ donne -n/xⁿ⁺¹. La fonction racine √x donne 1/(2√x), mais attention, elle n'est dérivable que sur ]0; +∞[.

La démonstration de la fonction inverse f(x) = 1/x illustre parfaitement la méthode : le taux de variation donne Th = -1/ $a(a+h)$ , et sa limite quand h→0 est -1/a².

💡 Important : Fais attention aux ensembles de dérivabilité - ils peuvent être différents de l'ensemble de définition !

$# Chapitre S: Dérivation Taux de variation: $T=\frac{δ(b)-δ(a)}{b-a}$ Nombre dérivé de $δ$ en a: $T_h=\frac{δ(a+h)-δ(a)}{h}$ On remplace$

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Règles de calcul des dérivées

Les règles de dérivation te permettront de calculer rapidement la dérivée de fonctions complexes sans refaire toute la démonstration.

Règles de base : $u + v$ ' = u' + v' et (ku)' = ku' où k est une constante. Pour un produit, utilise la formule (uv)' = u'v + v'u - ne confonds pas avec (u'v') !

Pour les quotients, deux cas importants : $1/u$ ' = -u'/u² et ( $u/v$ ' = $u'v - v'u$ /v². Cette dernière formule est cruciale pour les exercices de bac.

Enfin, la dérivation composée : si tu as f(x) = g $ax + b$ , alors f'(x) = a × g' $ax + b$ . Cette règle te sauvera dans de nombreux calculs !

💡 Conseil : Entraîne-toi régulièrement avec ces formules - elles doivent devenir des automatismes.

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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