Devoir Commun de Mathématiques 4ème avec Corrigé

Caractéristiques du problème de transport

Tu vas voir comment résoudre un problème concret de transport de matériaux ! Un bricoleur doit transporter 300 parpaings de 10 kg chacun avec un fourgon qui ne peut porter que 1,7 tonne maximum.

Le fourgon a des caractéristiques précises : volume de chargement de 2,60 m × 1,56 m × 1,84 m, et une consommation de 8 litres aux 100 km. Les tarifs de location dépendent de la distance parcourue dans la journée.

💡 Astuce : Dans ce type d'exercice, identifie d'abord la contrainte principale (ici le poids) avant de calculer les coûts !

Résolution du problème de transport et QCM

Pourquoi deux aller-retours ? 300 parpaings × 10 kg = 3000 kg = 3 tonnes. Le fourgon ne pouvant transporter que 1,7 tonne, il faut obligatoirement faire deux voyages.

Pour le coût total : 2 aller-retours × 20 km = 40 km. Tarif location : 55€. Consommation carburant : (8 × 40) ÷ 100 = 3,2 L × 1,50€ = 4,80€. Total : 59,80€.

Les tarifs ne sont pas proportionnels car 48÷30 = 1,6 et 55÷50 = 1,1 (quotients différents).

Le QCM teste tes automatismes : produit de nombres relatifs, puissances de 10, fractions et développement d'expressions.

💡 Astuce : Pour vérifier la proportionnalité, calcule tous les quotients - ils doivent être égaux !

Application du théorème de Pythagore

Tu appliques ici le théorème de Pythagore pour vérifier qu'un pylône est perpendiculaire au sol. Dans le triangle ABC : BC² = 15² = 225 et AB² + AC² = 9² + 12² = 225.

Comme BC² = AB² + AC², le triangle est rectangle en A selon la réciproque de Pythagore. Le pylône est donc bien perpendiculaire.

Pour calculer la longueur BD, tu utilises encore Pythagore : BD² = AD² + AB² = 16² + 9² = 337. Donc BD = √337 ≈ 18,36 m.

💡 Astuce : Compare toujours le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres !

Programme de calcul et expressions littérales

Un programme de calcul suit toujours les mêmes étapes : choisir un nombre, lui appliquer des opérations dans l'ordre donné. Ici : prendre x, ajouter 2, multiplier par 3.

Avec 10 : 10 + 2 = 12, puis 12 × 3 = 36. Avec -5 : -5 + 2 = -3, puis -3 × 3 = -9. Avec 2/3 : 2/3 + 2 = 8/3, puis $8/3$ × 3 = 8.

L'expression littérale correspondante est 3$x + 2$. Pour obtenir 0, tu résous 3$x + 2$ = 0, donc x + 2 = 0, soit x = -2.

💡 Astuce : Pour trouver l'antécédent, fais le programme "à l'envers" ou résous l'équation !

Calculs variés et géométrie

Le développement suit la distributivité : 3$4x + 1$ = 3 × 4x + 3 × 1 = 12x + 3. C'est un automatisme à maîtriser absolument.

Pour la diagonale du carré de côté 5 cm, tu appliques Pythagore : d² = 5² + 5² = 50, donc d = √50 ≈ 7,1 cm.

L'aire du triangle rectangle se calcule facilement : (base × hauteur) ÷ 2 = (6 × 12) ÷ 2 = 36 cm².

Les calculs de fractions demandent de la méthode : réduis au même dénominateur, puis effectue les opérations dans l'ordre.

💡 Astuce : Dans un carré, la diagonale vaut toujours côté × √2 !

Construction et symétries

Tu dois construire le triangle MOI avec les longueurs données : MO = 4 cm, OI = 7 cm, MI = 5 cm. Utilise ton compas pour reporter les distances avec précision.

La symétrie centrale par rapport au point O : chaque point du triangle a son symétrique de l'autre côté de O, à égale distance. Le centre O est le milieu de chaque segment reliant un point à son symétrique.

La symétrie axiale par rapport à la droite (OI) : chaque point a son symétrique de l'autre côté de la droite, à égale distance. La droite (OI) est la médiatrice de chaque segment.

💡 Astuce : En symétrie centrale, le centre est toujours le milieu ; en symétrie axiale, l'axe est toujours perpendiculaire !