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Maths294Mis à jour 18 oct. 20263 pages

Comprendre la Dérivation : Tangente et Nombre Dérivé

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Jeanne Frappart@jeannefrappart
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Tu vas découvrir comment calculer les variations d'une fonction et comprendre ce qu'est la dérivabilité. Ces concepts sont essentiels pour analyser le comportement des fonctions et tracer leurs tangentes.
Dirivation: Nombre dérivé, tangente – page 1

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Taux de variation et d'accroissement

Le taux de variation d'une fonction entre deux points te permet de mesurer comment elle évolue. La formule est simple : f(b)−f(a)f(b) - f(a)/b−ab - a.

Pour une fonction fxx = x³ entre 1 et -1, tu calcules : (−1)3−13(-1)³ - 1³/−1−1-1 - 1 = −1−1-1 - 1/−2-2 = 1. C'est la pente moyenne entre ces deux points !

Le taux d'accroissement va plus loin en prenant un point fixe "a" et en ajoutant une petite variation "h". La formule devient : f(a+h)−f(a)f(a+h) - f(a)/h.

💡 Astuce pratique : Le taux d'accroissement te prépare à comprendre la dérivée - c'est exactement le même principe !

Dirivation: Nombre dérivé, tangente – page 2

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Dérivabilité d'une fonction

Une fonction est dérivable en un point quand son taux d'accroissement a une limite finie lorsque h tend vers 0. Cette limite s'appelle le nombre dérivé et se note f'aa.

Concrètement, si lim(h→0) f(a+h)−f(a)f(a+h) - f(a)/h existe, alors f est dérivable en a. Par exemple, la fonction inverse est dérivable en -1 car sa limite existe.

Pour une fonction affine comme fxx = -3x + 5, le nombre dérivé est constant et égal au coefficient directeur −3-3. C'est logique : la pente ne change jamais !

⚠️ Attention : Toutes les fonctions ne sont pas dérivables partout. La fonction |x| n'est pas dérivable en 0 car elle forme un "pic".

Dirivation: Nombre dérivé, tangente – page 3

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La tangente à une courbe

La tangente à une courbe au point A est la droite qui "colle" parfaitement à la courbe en ce point précis. Son coefficient directeur est exactement f'aa !

L'équation de cette tangente suit une formule claire : y = f'a$$x - a + faa. Tu remplaces juste les valeurs et c'est parti.

La tangente change généralement quand tu te déplaces sur la courbe - sauf pour les droites qui sont leurs propres tangentes. C'est un outil super pratique pour approximer le comportement local d'une fonction.

🎯 Méthode : Pour tracer une tangente, trouve d'abord f'aa, puis utilise la formule. Tu auras une droite qui touche la courbe en un seul point !

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