Vecteur directeur et équation cartésienne

Le vecteur directeur

Il indique la direction d'une droite du plan.

• Définition : Tout vecteur $\vec{u}$ non nul colinéaire à une droite.
• Lecture graphique : On part d'un point de la droite, puis on suit les coordonnées de $\vec{u}$ pour en trouver un second.

L'équation cartésienne

Toute droite possède une équation de la forme $ax + by + c = 0$.

• Formule clé : Un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u}\binom{-b}{a}$.
• Méthode par colinéarité : On utilise le déterminant nul de $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ pour trouver l'équation.

💡 Astuce : Retiens bien que le vecteur directeur $\vec{u}$ a toujours pour coordonnées $\binom{-b}{a}$ et non $\binom{a}{b}$.

Déterminer une équation cartésienne

Méthode par identification

On utilise les coordonnées d'un point et d'un vecteur directeur $\vec{u}\binom{-b}{a}$.

• Étape 1 : Trouver $a$ et $b$ grâce à $\vec{u}$.
• Étape 2 : Remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées du point donné pour calculer $c$.

Méthode à partir de deux points

• Vecteur directeur : Si on a $B$ et $C$, alors $\overrightarrow{BC}\binom{x_C-x_B}{y_C-y_B}$ est un vecteur directeur.

Exemple : Avec $B(5;3)$ et $C(1;-3)$, on a $\overrightarrow{BC}\binom{-4}{-6}$. L'équation s'écrit $-6x + 4y + c = 0$. En remplaçant par $B(5;3)$ : $-6(5) + 4(3) + c = 0 \implies c = 18$. L'équation est $-6x + 4y + 18 = 0$.

💡 Astuce : Tu peux simplifier une équation cartésienne en divisant tous ses membres par un même nombre non nul.

L'équation réduite et tracé de droite

Passer à l'équation réduite

C'est la forme $y = mx + p$, obtenue en isolant $y$ dans l'équation cartésienne.

• Coefficient directeur $m$ : Il détermine la pente de la droite ($m = -\frac{a}{b}$).
• Ordonnée à l'origine $p$ : Point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées ($p = -\frac{c}{b}$).

Tracer une droite

• Étape 1 : Placer le premier point $A(0;p)$ sur l'axe des ordonnées.
• Étape 2 : Choisir une valeur pour $x$, calculer $y$, placer ce second point, puis relier les deux.

💡 Astuce : Une équation du type $y = k$ donne une droite horizontale, tandis que $x = k$ donne une droite verticale.

Appartenance, alignement et pente

Tester un point sur une droite

On remplace $x$ par l'abscisse du point dans l'équation et on vérifie si on obtient son ordonnée $y$.

• Alignement : Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si $A$ appartient à la droite $(BC)$.

Calculer le coefficient directeur $m$

Si $x_A \neq x_B$, la droite n'est pas verticale.

• Formule : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.

Exemple : Pour $A(4;-1)$ et $B(3;5)$ : $m = \frac{5 - (-1)}{3 - 4} = \frac{6}{-1} = -6$. On a $y = -6x + p$. Avec $A(4;-1)$ : $-1 = -6(4) + p \implies p = 23$. L'équation est $y = -6x + 23$.

💡 Attention : Ne confonds pas le numérateur et le dénominateur : ce sont toujours les $y$ qui sont en haut dans le calcul de $m$.