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Mathématiques

Techniques de résolution d'équations

méthode de substitution

Maths2 335Mis à jour 19 sept. 20266 pages

Comprendre Équations et Inéquations

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King.A@lphaiallo_beijnlhdjp
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Les équations et inéquations sont partout en maths ! Que ce soit pour résoudre des problèmes du quotidien ou réussir tes contrôles, maîtriser ces méthodes te donnera une base solide. Tu vas voir, avec les bonnes techniques, c'est beaucoup plus simple que ça en a l'air.
Équation inéquation – page 1

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Résoudre une équation du premier degré

Tu sais déjà résoudre des équations simples, mais parfois elles sont un peu plus compliquées avec des parenthèses et des développements. Pas de panique ! Il suffit de suivre une méthode claire pour ne pas se perdre.

L'idée principale est de développer d'abord, puis de regrouper tous les x d'un côté et tous les nombres de l'autre. C'est comme ranger sa chambre : on met les chaussettes avec les chaussettes !

Prenons l'exemple : 32x−52x - 5 - 21−x1 - x = 7x - 4. On développe d'abord : 6x - 15 - 2 + 2x = 7x - 4. Puis on regroupe : 8x - 17 = 7x - 4, donc 8x - 7x = 17 - 4, et enfin x = 13.

💡 Astuce : Vérifie toujours ta réponse en remplaçant x par ta solution dans l'équation de départ !

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Résoudre une équation du second degré

Les équations du second degré peuvent faire peur, mais en réalité, il faut juste les transformer pour les résoudre facilement. Le secret ? Les factoriser pour obtenir un produit égal à zéro.

Quand on a un produit qui vaut zéro, au moins un des facteurs doit valoir zéro. C'est ce principe qu'on utilise ! On transforme notre équation compliquée en plusieurs équations simples.

Exemple avec 2x−52x - 5² - 9 = 0. On reconnaît a² - b² et on factorise : 2x - 8$$2x - 2 = 0. Donc soit 2x - 8 = 0 (alors x = 4), soit 2x - 2 = 0 (alors x = 1).

💡 Conseil : Les identités remarquables comme a² - b² = a-b$$a+b sont tes meilleures amies pour factoriser !

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Résoudre une inéquation du premier degré

Les inéquations ressemblent aux équations, mais avec ≤, ≥, < ou > au lieu du signe =. La méthode est presque identique, avec une règle importante à retenir absolument.

On développe, on regroupe et on isole x exactement comme pour une équation. Mais attention : quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut changer le sens de l'inégalité !

Dans l'exemple 2x + 4 ≤ 5x + 10, on obtient -3x ≤ 6. En divisant par -3, l'inégalité se retourne : x ≥ -2. La solution est donc l'intervalle [-2; +∞[.

⚠️ Attention : N'oublie jamais de retourner le signe d'inégalité quand tu divises par un nombre négatif !

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Méthode par substitution pour les systèmes

Les systèmes d'équations permettent de trouver deux inconnues à la fois. La méthode par substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre, puis à la remplacer.

C'est comme résoudre un puzzle : on prend une pièce facile (une équation simple) pour trouver où placer les autres. On choisit l'équation la plus simple pour exprimer x ou y.

Avec le système donné, on tire x = 13 - 5y de la deuxième équation. On remplace dans la première : 413−5y13 - 5y + 3y = 18. Après calculs, on trouve y = 2, puis x = 3. La solution est le couple (3; 2).

🎯 Méthode : Choisis toujours l'équation la plus simple pour exprimer une inconnue en fonction de l'autre !

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Méthode par combinaison linéaire

La combinaison linéaire est une autre technique pour résoudre les systèmes. L'idée est d'éliminer une inconnue en additionnant les deux équations après les avoir multipliées par des nombres bien choisis.

C'est comme faire disparaître par magie une des inconnues ! On multiplie chaque équation par un nombre pour que les coefficients d'une inconnue deviennent opposés (comme 4x et -4x).

Pour éliminer x dans notre exemple, on multiplie la première équation par -4. On obtient -4x - 20y = -52 et 4x + 3y = 18. En additionnant : -17y = -34, donc y = 2. Puis on retrouve x = 3.

✨ Astuce : Cette méthode est souvent plus rapide quand les coefficients sont déjà "presque" opposés !

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