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Mis à jour Mar 17, 2026
•
Résolution et Analyse des Équations du Second Degré
Louann
@louannconin_povm
1 / 5
Résolution d'une équation du second degré
Une équation du second degré s'écrit sous la forme ax² + bx + c = 0 où a, b et c sont des nombres réels, avec a ≠ 0. Les solutions de cette équation sont appelées racines du trinôme ax² + bx + c.
Pour résoudre ces équations, on utilise le discriminant, noté Δ (delta), qui se calcule avec la formule : Δ = b² - 4ac. Prenons l'exemple x² + x - 2 = 0, son discriminant est Δ = 1² - 4 × 1 × (-2) = 9 > 0.
Le signe du discriminant nous indique le nombre de solutions :
- Si Δ < 0 : l'équation n'a pas de solution réelle
- Si Δ = 0 : l'équation a une unique solution x₀ = -b/(2a)
- Si Δ > 0 : l'équation a deux solutions distinctes
💡 Astuce ! Le discriminant est comme un détective qui vous révèle combien de solutions possède votre équation avant même que vous ne commenciez à calculer.
Solutions et factorisation
Quand Δ > 0, les deux solutions de l'équation sont x₁ = /(2a) et x₂ = /(2a). Pour notre exemple x² + x - 2 = 0, les solutions sont x₁ = -2 et x₂ = 1.
Connaître les racines nous permet de factoriser le trinôme. Si f(x) = ax² + bx + c a deux racines x₁ et x₂, alors f(x) = a. Pour notre exemple : x² + x - 2 = .
Si Δ = 0, la factorisation donne une forme avec un carré parfait. Et si Δ < 0, il n'existe pas de forme factorisée dans l'ensemble des réels car le trinôme n'a pas de racines réelles.
📝 À retenir : La factorisation est particulièrement utile pour résoudre des inéquations et déterminer le signe du trinôme sur différents intervalles.
Représentation graphique et signe d'un trinôme
La représentation graphique d'une fonction f(x) = ax² + bx + c est une parabole. L'orientation de cette parabole dépend du signe de a :
- Si a > 0 : la parabole est tournée vers le haut (forme U)
- Si a < 0 : la parabole est tournée vers le bas (forme ∩)
Le signe du trinôme f(x) est directement lié à sa représentation graphique. Lorsque la parabole est au-dessus de l'axe des x, f(x) est positif, et lorsqu'elle est en dessous, f(x) est négatif.
🔍 Visualisation : Imaginez une parabole comme un sourire (a < 0) ou un froncement de sourcils (a > 0). Cela vous aidera à visualiser rapidement l'allure de la courbe !
Étude du signe selon le discriminant
Si Δ = 0, le trinôme a une seule racine x₀ :
- Pour a > 0 : f(x) est du signe de a (positif) partout sauf en x₀ où f(x₀) = 0
- Pour a < 0 : f(x) est du signe de a (négatif) partout sauf en x₀ où f(x₀) = 0
Si Δ > 0, le trinôme a deux racines x₁ et x₂ (avec x₁ < x₂) :
- Pour a > 0 : f(x) est positif sur ]-∞, x₁[ et ]x₂, +∞[, négatif sur ]x₁, x₂[
- Pour a < 0 : f(x) est négatif sur ]-∞, x₁[ et ]x₂, +∞[, positif sur ]x₁, x₂[
🌟 Conseil pratique : Pour retenir facilement l'étude du signe, rappelez-vous que le trinôme change de signe uniquement lorsqu'il rencontre une racine .
Exemple complet
Prenons l'exemple f(x) = x² + x - 2. Nous avons déjà trouvé ses racines : x = -2 et x = 1.
Pour étudier son signe, notons que a = 1 > 0, donc la parabole est tournée vers le haut. Le trinôme est donc :
- Positif sur ]-∞, -2[ et ]1, +∞[
- Négatif sur ]-2, 1[
- Nul en x = -2 et x = 1
🧩 Application : Essayez maintenant de résoudre l'inéquation x² + x - 2 > 0. La réponse est directement liée au signe du trinôme : x < -2 ou x > 1.
Si on te demande...
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Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
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Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.
L'application est-elle vraiment gratuite ?
Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
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Google Play
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
LES QUIZ ET CARTES MÉMOIRE SONT TROP UTILES ET J'ADORE Knowunity IA. C'EST LITTÉRALEMENT COMME CHATGPT MAIS EN PLUS INTELLIGENT !! ÇA M'A AIDÉ AVEC MES PROBLÈMES DE MASCARA AUSSI !! AINSI QUE MES VRAIES MATIÈRES ! ÉVIDEMMENT 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
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Leny
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Louann
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Les équations du second degré sont essentielles en mathématiques. Elles se présentent sous la forme ax² + bx + c = 0 et ont des applications pratiques dans de nombreux domaines. Comprendre leur résolution est une compétence fondamentale qui vous... Affiche plus
Résolution d'une équation du second degré
Une équation du second degré s'écrit sous la forme ax² + bx + c = 0 où a, b et c sont des nombres réels, avec a ≠ 0. Les solutions de cette équation sont appelées racines du trinôme ax² + bx + c.
Pour résoudre ces équations, on utilise le discriminant, noté Δ (delta), qui se calcule avec la formule : Δ = b² - 4ac. Prenons l'exemple x² + x - 2 = 0, son discriminant est Δ = 1² - 4 × 1 × (-2) = 9 > 0.
Le signe du discriminant nous indique le nombre de solutions :
- Si Δ < 0 : l'équation n'a pas de solution réelle
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Solutions et factorisation
Quand Δ > 0, les deux solutions de l'équation sont x₁ = /(2a) et x₂ = /(2a). Pour notre exemple x² + x - 2 = 0, les solutions sont x₁ = -2 et x₂ = 1.
Connaître les racines nous permet de factoriser le trinôme. Si f(x) = ax² + bx + c a deux racines x₁ et x₂, alors f(x) = a. Pour notre exemple : x² + x - 2 = .
Si Δ = 0, la factorisation donne une forme avec un carré parfait. Et si Δ < 0, il n'existe pas de forme factorisée dans l'ensemble des réels car le trinôme n'a pas de racines réelles.
📝 À retenir : La factorisation est particulièrement utile pour résoudre des inéquations et déterminer le signe du trinôme sur différents intervalles.
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Représentation graphique et signe d'un trinôme
La représentation graphique d'une fonction f(x) = ax² + bx + c est une parabole. L'orientation de cette parabole dépend du signe de a :
- Si a > 0 : la parabole est tournée vers le haut (forme U)
- Si a < 0 : la parabole est tournée vers le bas (forme ∩)
Le signe du trinôme f(x) est directement lié à sa représentation graphique. Lorsque la parabole est au-dessus de l'axe des x, f(x) est positif, et lorsqu'elle est en dessous, f(x) est négatif.
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Étude du signe selon le discriminant
Si Δ = 0, le trinôme a une seule racine x₀ :
- Pour a > 0 : f(x) est du signe de a (positif) partout sauf en x₀ où f(x₀) = 0
- Pour a < 0 : f(x) est du signe de a (négatif) partout sauf en x₀ où f(x₀) = 0
Si Δ > 0, le trinôme a deux racines x₁ et x₂ (avec x₁ < x₂) :
- Pour a > 0 : f(x) est positif sur ]-∞, x₁[ et ]x₂, +∞[, négatif sur ]x₁, x₂[
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Exemple complet
Prenons l'exemple f(x) = x² + x - 2. Nous avons déjà trouvé ses racines : x = -2 et x = 1.
Pour étudier son signe, notons que a = 1 > 0, donc la parabole est tournée vers le haut. Le trinôme est donc :
- Positif sur ]-∞, -2[ et ]1, +∞[
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