Résolution d'une équation du second degré

Une équation du second degré s'écrit sous la forme ax² + bx + c = 0 où a, b et c sont des nombres réels, avec a ≠ 0. Les solutions de cette équation sont appelées racines du trinôme ax² + bx + c.

Pour résoudre ces équations, on utilise le discriminant, noté Δ (delta), qui se calcule avec la formule : Δ = b² - 4ac. Prenons l'exemple x² + x - 2 = 0, son discriminant est Δ = 1² - 4 × 1 × (-2) = 9 > 0.

Le signe du discriminant nous indique le nombre de solutions :

• Si Δ < 0 : l'équation n'a pas de solution réelle
• Si Δ = 0 : l'équation a une unique solution x₀ = -b/(2a)
• Si Δ > 0 : l'équation a deux solutions distinctes

💡 Astuce ! Le discriminant est comme un détective qui vous révèle combien de solutions possède votre équation avant même que vous ne commenciez à calculer.

Solutions et factorisation

Quand Δ > 0, les deux solutions de l'équation sont x₁ = $-b - √Δ$/(2a) et x₂ = $-b + √Δ$/(2a). Pour notre exemple x² + x - 2 = 0, les solutions sont x₁ = -2 et x₂ = 1.

Connaître les racines nous permet de factoriser le trinôme. Si f(x) = ax² + bx + c a deux racines x₁ et x₂, alors f(x) = a$x - x₁$$x - x₂$. Pour notre exemple : x² + x - 2 = $x - 1$$x + 2$.

Si Δ = 0, la factorisation donne une forme avec un carré parfait. Et si Δ < 0, il n'existe pas de forme factorisée dans l'ensemble des réels car le trinôme n'a pas de racines réelles.

📝 À retenir : La factorisation est particulièrement utile pour résoudre des inéquations et déterminer le signe du trinôme sur différents intervalles.

Représentation graphique et signe d'un trinôme

La représentation graphique d'une fonction f(x) = ax² + bx + c est une parabole. L'orientation de cette parabole dépend du signe de a :

• Si a > 0 : la parabole est tournée vers le haut (forme U)
• Si a < 0 : la parabole est tournée vers le bas (forme ∩)

Le signe du trinôme f(x) est directement lié à sa représentation graphique. Lorsque la parabole est au-dessus de l'axe des x, f(x) est positif, et lorsqu'elle est en dessous, f(x) est négatif.

🔍 Visualisation : Imaginez une parabole comme un sourire (a < 0) ou un froncement de sourcils (a > 0). Cela vous aidera à visualiser rapidement l'allure de la courbe !

Étude du signe selon le discriminant

Si Δ = 0, le trinôme a une seule racine x₀ :

• Pour a > 0 : f(x) est du signe de a (positif) partout sauf en x₀ où f(x₀) = 0
• Pour a < 0 : f(x) est du signe de a (négatif) partout sauf en x₀ où f(x₀) = 0

Si Δ > 0, le trinôme a deux racines x₁ et x₂ (avec x₁ < x₂) :

• Pour a > 0 : f(x) est positif sur ]-∞, x₁[ et ]x₂, +∞[, négatif sur ]x₁, x₂[
• Pour a < 0 : f(x) est négatif sur ]-∞, x₁[ et ]x₂, +∞[, positif sur ]x₁, x₂[

🌟 Conseil pratique : Pour retenir facilement l'étude du signe, rappelez-vous que le trinôme change de signe uniquement lorsqu'il rencontre une racine $là où f(x) = 0$.

Exemple complet

Prenons l'exemple f(x) = x² + x - 2. Nous avons déjà trouvé ses racines : x = -2 et x = 1.

Pour étudier son signe, notons que a = 1 > 0, donc la parabole est tournée vers le haut. Le trinôme est donc :

• Positif sur ]-∞, -2[ et ]1, +∞[
• Négatif sur ]-2, 1[
• Nul en x = -2 et x = 1

🧩 Application : Essayez maintenant de résoudre l'inéquation x² + x - 2 > 0. La réponse est directement liée au signe du trinôme : x < -2 ou x > 1.