Équations et fonctions polynômes du second degré
Tu vas découvrir que résoudre une équation du second degré de la forme ax² + bx + c = 0 (avec a ≠ 0) suit toujours la même logique. La première étape consiste à factoriser par a, puis compléter le carré parfait pour arriver à la forme canonique.
Le secret, c'est le discriminant Δ = b² - 4ac. Cette petite formule magique te dit tout sur ton équation avant même de la résoudre ! Une fois que tu as calculé Δ, tu peux appliquer la formule des solutions : x = −b±√Δ / 2a.
Selon la valeur de Δ, trois cas se présentent : si Δ < 0, pas de solutions réelles ; si Δ = 0, une racine double x₀ = -b/2a ; si Δ > 0, deux solutions distinctes x₁ et x₂.
Astuce pratique : Pour la forme factorisée, retiens que si Δ > 0, alors ax² + bx + c = ax−x1x−x2. C'est super utile pour les exercices !
Remarques importantes à retenir : le sommet de la parabole est toujours en x = -b/2a, la somme des racines vaut -b/a et leur produit c/a. Si a et c ont des signes opposés, alors Δ > 0 automatiquement. Enfin, si a + b + c = 0, alors x = 1 est toujours une solution !