Exercice de Mathématiques pour la Classe de 5ème

Programmes de calcul et formules

Les programmes de calcul nous permettent de transformer un nombre de départ en suivant plusieurs étapes. Par exemple, si on prend 5, qu'on lui ajoute 4 puis multiplie par 5, on obtient 45.

Quand on ne connaît pas le nombre de départ, on utilise une lettre (souvent n). Cela nous permet d'écrire une expression comme $n+4$×5 qui fonctionne pour n'importe quel nombre.

Les formules sont très utiles dans la vie quotidienne. Par exemple, la longueur L d'un ressort dépend de la masse M de l'objet qu'on y suspend : L = 18+2×M. Si on suspend un objet de 2 kg, le ressort mesure 22 cm.

💡 Astuce : Quand tu vois une formule avec une lettre, essaie de remplacer la lettre par différentes valeurs pour mieux comprendre comment elle fonctionne !

Pour compléter un programme de calcul, il faut bien identifier les opérations qui permettent d'obtenir le résultat final. Par exemple, pour obtenir 5x+4, il faut d'abord multiplier par 5, puis ajouter 4.

Applications pratiques du calcul littéral

Tu peux utiliser les formules pour résoudre des problèmes concrets. Par exemple, l'aire d'un losange se calcule avec A = (D×d)÷2 où D et d sont les longueurs des diagonales.

Les expressions algébriques permettent de comparer des situations. Enzo paie ses forfaits de ski 25€ chacun (soit 25×n euros pour n forfaits). Maya paie 100€ sa carte annuelle puis 15€ par forfait (soit 100+15×n euros). Pour combien de forfaits le prix est-il identique?

Une expression littérale nous aide à comprendre un programme de calcul. Si on choisit un nombre n, qu'on lui soustrait 2 puis qu'on multiplie par 5, l'expression est 5×$n-2$. En remplaçant n par 5, on obtient 5×3=15.

🔍 À noter : Quand tu dois créer une expression littérale, décompose chaque étape du calcul une par une, puis écris l'expression complète.

Un même programme de calcul peut donner différents résultats selon le nombre de départ. Par exemple, le programme "soustraire 2 puis multiplier par 5" donne 15 si on part de 5, mais 40 si on part de 10.

Vérification d'égalités et patterns

Pour vérifier si une égalité comme x²+4=10x-17 est vraie pour une valeur de x, il suffit de remplacer x par cette valeur dans les deux membres de l'égalité.

Tu peux aussi utiliser le calcul littéral pour comparer des aires. Par exemple, si un rectangle a pour aire 1,6×x et un autre 0,4×$x+2,4$, ces aires sont égales quand 1,6×x = 0,4×$x+2,4$. En essayant x=0,8, on trouve que c'est vrai.

Il est utile de savoir exprimer certaines notions en fonction d'un nombre a :

• Le double de a s'écrit 2×a
• La moitié de a s'écrit a÷2 ou a/2
• Le carré de a s'écrit a²

🎯 Important : Quand tu dois trouver une expression pour un motif répétitif, cherche un lien entre le numéro du motif et le nombre d'éléments qu'il contient.

Dans une suite de motifs, on peut souvent trouver une formule qui dépend du numéro n du motif. Par exemple, si le motif n°1 a 5 carrés, le n°2 en a 9, et le n°3 en a 13, la formule peut être 4n+1.

Résolution de problèmes avec formules

Les formules de conversion nous permettent de passer d'une unité à une autre. Par exemple, pour convertir des degrés Fahrenheit (T) en degrés Celsius $t$, on utilise t = $T-32$÷1,8. Ainsi, 392°F correspondent à 200°C.

Le calcul littéral est très utile dans les tableurs. Pour calculer la note globale d'un jeu vidéo avec la formule N=2×G+4×H+3×C+S, on écrirait dans le tableur =2B2+4C2+3*D2+E2.

On peut aussi résoudre des problèmes de sécurité routière avec des formules. La distance d'arrêt d'un véhicule se calcule avec d=k×$v+3,6$²+v÷3,6 où v est la vitesse et k dépend de la météo.

🚨 Attention : Dans un tableur, n'oublie jamais le signe = au début de ta formule et utilise * pour la multiplication !

Pour déterminer si deux objets ont le même périmètre, on peut écrire une équation, comme 6x+10=x+22, et chercher la valeur de x qui la rend vraie. Un tableur peut aider à trouver cette valeur en testant plusieurs possibilités.

Programmation et expressions

Dans un programme informatique, on peut créer des variables pour stocker des valeurs. Par exemple, dans Scratch, on peut demander un nombre à l'utilisateur, le multiplier par 6, ajouter 10 puis diviser par 2.

Si on choisit 5 comme nombre de départ, le programme calcule 5×6=30, puis 30+10=40, puis 40÷2=20. L'expression finale est $6x+10$÷2.

On peut aussi remonter le programme : si le résultat final est 8, quel nombre a-t-on choisi au départ ? En résolvant $6x+10$÷2=8, on trouve x=1.

💪 Tu peux le faire ! N'hésite pas à décomposer les problèmes en petites étapes. Pour vérifier ton raisonnement, teste tes expressions avec des nombres simples.

Pour écrire l'expression littérale d'un programme, il suffit de suivre les étapes en remplaçant le nombre de départ par x. Si on multiplie x par 6, on obtient 6x. Si on ajoute 10, on obtient 6x+10. Si on divise par 2, on obtient $6x+10$÷2.