Les suites arithmético-géométriquessont partout autour de nous ! Population...
Maths206 vues·Mis à jour Jun 20, 2026·8 pagesExercices corrigés sur les suites arithmétiques et géométriques
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Mathieu@mat_0mhm
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Exercices sur les suites arithmético-géométriques
Tu vas bosser sur des suites arithmético-géométriques - des suites qui suivent le modèle . Ces suites apparaissent dans plein de situations concrètes !
Premier exercice : évolution d'une population avec un taux d'accroissement de 14‰ plus des migrations. Deuxième exercice : effectifs d'une entreprise qui perd 10% de ses employés chaque année mais embauche 100 personnes.
Le troisième traite des donateurs d'une association (20% arrêtent, 300 nouveaux arrivent), le quatrième des inscriptions à la natation, et le dernier d'une suite théorique.
Astuce clé : Pour résoudre ces exercices, on pose toujours pour transformer la suite en suite géométrique !
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Fin des exercices et méthodes de résolution
Les dernières questions portent sur les variations des suites et leur comportement à long terme. Tu dois savoir calculer pour déterminer si une suite est croissante ou décroissante.
Pour les questions "Au bout de combien d'années...", plusieurs méthodes s'offrent à toi : calculatrice, algorithmes, ou résolution d'inéquations. L'algorithme est souvent le plus simple pour les valeurs numériques.
Le dernier exercice te montre comment calculer la somme des termes d'une suite. Tu utilises la formule de la somme géométrique après avoir séparé la partie géométrique de la partie constante.
Méthode pratique : Teste toujours tes formules avec les premiers termes pour vérifier que tu n'as pas fait d'erreur de calcul !
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Corrigés détaillés - Population et entreprise
Les corrigés te montrent la méthode complète. Pour l'exercice population : , puis avec la formule .
La transformation donne une suite géométrique de raison 1,014. D'où . En 2015, ça fait environ 86 millions d'habitants !
Pour l'entreprise, même principe : . Avec , on obtient . L'entreprise ne sera plus en sureffectif au bout de 9 ans.
Point important : La transformation fonctionne toujours pour les suites arithmético-géométriques !
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Suite des corrigés - Calculs détaillés
Les calculs de variations suivent toujours la même logique. Pour l'entreprise : , donc la suite est décroissante. Normal, l'entreprise perd des employés !
L'algorithme AlgoBox te donne une méthode concrète pour résoudre les questions numériques. Tu initialises tes variables, puis tu fais tourner une boucle "tant que" jusqu'à atteindre la condition voulue.
Les trois méthodes (calculatrice, formule, algorithme) donnent le même résultat : cohérence = réussite ! Si tu obtiens des résultats différents, c'est qu'il y a une erreur quelque part.
Conseil pratique : L'algorithme est très utile quand les calculs deviennent trop lourds à la main !
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Associations et algorithmes
Pour l'exercice association : avec la transformation . Ça donne . La suite est croissante car .
Question piège : "Quand dépasse-t-on 1500 donateurs ?" En fait, jamais ! La suite tend vers 1500 sans jamais l'atteindre. D'où l'astuce de l'algorithme qui teste 1499 au lieu de 1500.
Cette limite de 1500 s'appelle une asymptote horizontale. C'est logique : avec 20% qui partent et 300 nouveaux, l'équilibre se fait autour de $300 ÷ 0{,}2 = 1500$ donateurs.
Observation importante : Attention aux limites ! Parfois on s'approche d'une valeur sans jamais l'atteindre.
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Centre aéré et natation
L'exercice natation suit la même logique : 5% d'abandons, 10 nouvelles inscriptions par semaine. Avec , on obtient puis la formule générale .
La transformation donne une suite géométrique de raison 0,95 et premier terme -120. D'où .
Pour dépasser 150 inscrits, il faut 18 semaines. La suite est croissante car . Elle tend vers 200 inscrits (limite théorique).
Logique du modèle : 10 nouveaux par semaine, 5% d'abandons → équilibre à $10 ÷ 0{,}05 = 200$ inscrits.
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Derniers calculs et vérifications
Le calcul de pour la natation montre bien la méthode : tu développes, tu factorises, tu simplifies. Résultat : $6 \times 0{,}95^n$, donc croissance assurée !
L'algorithme confirme les 18 semaines pour dépasser 150 inscrits. Ces programmes sont très pratiques pour vérifier tes calculs théoriques ou quand les formules deviennent trop complexes.
L'exercice 5 est plus direct : suite définie par avec . C'est une suite arithmético-géométriques classique qui se résout facilement.
Méthode systématique : Transformation → suite géométrique → expression explicite → propriétés !
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Suite théorique et sommes
Pour la suite , la transformation donne une suite géométrique de raison 2. D'où .
Le calcul de la somme des 11 premiers termes utilise la formule de la somme géométrique : .
L'algorithme de vérification donne un résultat légèrement différent (2080 vs 2688), ce qui montre l'importance de vérifier ses calculs ! En cas de doute, reprends étape par étape.
Conseil final : Les suites arithmético-géométriques suivent toujours le même schéma de résolution. Maîtrise cette méthode et tu réussiras tous les exercices !
Si on te demande...
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Mathieu@mat_0mhm
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Conseil pratique : L'algorithme est très utile quand les calculs deviennent trop lourds à la main !
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Associations et algorithmes
Pour l'exercice association : avec la transformation . Ça donne . La suite est croissante car .
Question piège : "Quand dépasse-t-on 1500 donateurs ?" En fait, jamais ! La suite tend vers 1500 sans jamais l'atteindre. D'où l'astuce de l'algorithme qui teste 1499 au lieu de 1500.
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Observation importante : Attention aux limites ! Parfois on s'approche d'une valeur sans jamais l'atteindre.
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Centre aéré et natation
L'exercice natation suit la même logique : 5% d'abandons, 10 nouvelles inscriptions par semaine. Avec , on obtient puis la formule générale .
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Pour dépasser 150 inscrits, il faut 18 semaines. La suite est croissante car . Elle tend vers 200 inscrits (limite théorique).
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Derniers calculs et vérifications
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Suite théorique et sommes
Pour la suite , la transformation donne une suite géométrique de raison 2. D'où .
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4.6/5App Store
4.7/5Google Play
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan Sutilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klichutilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Annautilisatrice iOS