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Mathématiques

Analyse des Suites et des Séries

suite géométrique

Maths206Mis à jour 20 sept. 20268 pages

Exercices corrigés sur les suites arithmétiques et géométriques

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Mathieu@mat_0mhm
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Les suites arithmético-géométriques sont partout autour de nous ! Population d'un pays, effectifs d'une entreprise, nombre de donateurs... Ces situations se modélisent avec des suites qui combinent multiplication et addition. Tu vas découvrir comment résoudre ces exercices étape par étape.
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Exercices sur les suites arithmético-géométriques

Tu vas bosser sur des suites arithmético-géométriques - des suites qui suivent le modèle Un+1=aUn+bU_{n+1} = aU_n + b. Ces suites apparaissent dans plein de situations concrètes !

Premier exercice : évolution d'une population avec un taux d'accroissement de 14‰ plus des migrations. Deuxième exercice : effectifs d'une entreprise qui perd 10% de ses employés chaque année mais embauche 100 personnes.

Le troisième traite des donateurs d'une association (20% arrêtent, 300 nouveaux arrivent), le quatrième des inscriptions à la natation, et le dernier d'une suite théorique.

Astuce clé : Pour résoudre ces exercices, on pose toujours Vn=Un−kV_n = U_n - k pour transformer la suite en suite géométrique !

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Fin des exercices et méthodes de résolution

Les dernières questions portent sur les variations des suites et leur comportement à long terme. Tu dois savoir calculer Un+1−UnU_{n+1} - U_n pour déterminer si une suite est croissante ou décroissante.

Pour les questions "Au bout de combien d'années...", plusieurs méthodes s'offrent à toi : calculatrice, algorithmes, ou résolution d'inéquations. L'algorithme est souvent le plus simple pour les valeurs numériques.

Le dernier exercice te montre comment calculer la somme des termes d'une suite. Tu utilises la formule de la somme géométrique après avoir séparé la partie géométrique de la partie constante.

Méthode pratique : Teste toujours tes formules avec les premiers termes pour vérifier que tu n'as pas fait d'erreur de calcul !

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Corrigés détaillés - Population et entreprise

Les corrigés te montrent la méthode complète. Pour l'exercice population : P0=75000P_0 = 75000, puis P1=76057P_1 = 76057 avec la formule Pn+1=1,014×Pn+7P_{n+1} = 1{,}014 \times P_n + 7.

La transformation Un=Pn+500U_n = P_n + 500 donne une suite géométrique de raison 1,014. D'où Pn=75500×1,014n−500P_n = 75500 \times 1{,}014^n - 500. En 2015, ça fait environ 86 millions d'habitants !

Pour l'entreprise, même principe : Un+1=0,9×Un+100U_{n+1} = 0{,}9 \times U_n + 100. Avec Vn=Un−1000V_n = U_n - 1000, on obtient Un=500×0,9n+1000U_n = 500 \times 0{,}9^n + 1000. L'entreprise ne sera plus en sureffectif au bout de 9 ans.

Point important : La transformation Vn=Un−kV_n = U_n - k fonctionne toujours pour les suites arithmético-géométriques !

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Suite des corrigés - Calculs détaillés

Les calculs de variations suivent toujours la même logique. Pour l'entreprise : Un+1−Un=−50×0,9n<0U_{n+1} - U_n = -50 \times 0{,}9^n < 0, donc la suite est décroissante. Normal, l'entreprise perd des employés !

L'algorithme AlgoBox te donne une méthode concrète pour résoudre les questions numériques. Tu initialises tes variables, puis tu fais tourner une boucle "tant que" jusqu'à atteindre la condition voulue.

Les trois méthodes (calculatrice, formule, algorithme) donnent le même résultat : cohérence = réussite ! Si tu obtiens des résultats différents, c'est qu'il y a une erreur quelque part.

Conseil pratique : L'algorithme est très utile quand les calculs deviennent trop lourds à la main !

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Associations et algorithmes

Pour l'exercice association : Un+1=0,8×Un+300U_{n+1} = 0{,}8 \times U_n + 300 avec la transformation Vn=1500−UnV_n = 1500 - U_n. Ça donne Un=1500−500×0,8n−1U_n = 1500 - 500 \times 0{,}8^{n-1}. La suite est croissante car Un+1−Un=100×0,8n−1>0U_{n+1} - U_n = 100 \times 0{,}8^{n-1} > 0.

Question piège : "Quand dépasse-t-on 1500 donateurs ?" En fait, jamais ! La suite tend vers 1500 sans jamais l'atteindre. D'où l'astuce de l'algorithme qui teste 1499 au lieu de 1500.

Cette limite de 1500 s'appelle une asymptote horizontale. C'est logique : avec 20% qui partent et 300 nouveaux, l'équilibre se fait autour de 300÷0,2=1500300 ÷ 0{,}2 = 1500 donateurs.

Observation importante : Attention aux limites ! Parfois on s'approche d'une valeur sans jamais l'atteindre.

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Centre aéré et natation

L'exercice natation suit la même logique : 5% d'abandons, 10 nouvelles inscriptions par semaine. Avec U0=80U_0 = 80, on obtient U1=86U_1 = 86 puis la formule générale Un+1=0,95×Un+10U_{n+1} = 0{,}95 \times U_n + 10.

La transformation an=Un−200a_n = U_n - 200 donne une suite géométrique de raison 0,95 et premier terme -120. D'où Un=200−120×0,95nU_n = 200 - 120 \times 0{,}95^n.

Pour dépasser 150 inscrits, il faut 18 semaines. La suite est croissante car Un+1−Un=6×0,95n>0U_{n+1} - U_n = 6 \times 0{,}95^n > 0. Elle tend vers 200 inscrits (limite théorique).

Logique du modèle : 10 nouveaux par semaine, 5% d'abandons → équilibre à 10÷0,05=20010 ÷ 0{,}05 = 200 inscrits.

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Derniers calculs et vérifications

Le calcul de Un+1−UnU_{n+1} - U_n pour la natation montre bien la méthode : tu développes, tu factorises, tu simplifies. Résultat : 6×0,95n6 \times 0{,}95^n, donc croissance assurée !

L'algorithme confirme les 18 semaines pour dépasser 150 inscrits. Ces programmes sont très pratiques pour vérifier tes calculs théoriques ou quand les formules deviennent trop complexes.

L'exercice 5 est plus direct : suite définie par Un+1=2Un−3U_{n+1} = 2U_n - 3 avec U0=4U_0 = 4. C'est une suite arithmético-géométriques classique qui se résout facilement.

Méthode systématique : Transformation → suite géométrique → expression explicite → propriétés !

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Suite théorique et sommes

Pour la suite Un+1=2Un−3U_{n+1} = 2U_n - 3, la transformation Vn=Un−3V_n = U_n - 3 donne une suite géométrique de raison 2. D'où Un=2n+3U_n = 2^n + 3.

Le calcul de la somme des 11 premiers termes utilise la formule de la somme géométrique : S=V0×1−q111−q+11×3=2047+33=2080S = V_0 \times \frac{1-q^{11}}{1-q} + 11 \times 3 = 2047 + 33 = 2080.

L'algorithme de vérification donne un résultat légèrement différent (2080 vs 2688), ce qui montre l'importance de vérifier ses calculs ! En cas de doute, reprends étape par étape.

Conseil final : Les suites arithmético-géométriques suivent toujours le même schéma de résolution. Maîtrise cette méthode et tu réussiras tous les exercices !

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