Mathématiques

Analyse des Suites et des Séries

suite géométrique

Maths206Mis à jour 17 oct. 20268 pages

Exercices corrigés sur les suites arithmétiques et géométriques

Signaler

Mathieu@mat_0mhm

Ajouter aux sources Google

Les suites arithmético-géométriques sont partout autour de nous ! Population d'un pays, effectifs d'une entreprise, nombre de donateurs... Ces situations se modélisent avec des suites qui combinent multiplication et addition. Tu vas découvrir comment résoudre ces exercices étape par étape.

Exercices avec corrigé -suites arithméco-géométriques – page 1

Inscris-toi pour voir le contenu.
C'est gratuit!

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Exercices sur les suites arithmético-géométriques

Tu vas bosser sur des suites arithmético-géométriques - des suites qui suivent le modèle $U_{n+1} = aU_n + b$ . Ces suites apparaissent dans plein de situations concrètes !

Premier exercice : évolution d'une population avec un taux d'accroissement de 14‰ plus des migrations. Deuxième exercice : effectifs d'une entreprise qui perd 10% de ses employés chaque année mais embauche 100 personnes.

Le troisième traite des donateurs d'une association (20% arrêtent, 300 nouveaux arrivent), le quatrième des inscriptions à la natation, et le dernier d'une suite théorique.

Astuce clé : Pour résoudre ces exercices, on pose toujours $V_n = U_n - k$ pour transformer la suite en suite géométrique !

Exercices avec corrigé -suites arithméco-géométriques – page 2

Inscris-toi pour voir le contenu.
C'est gratuit!

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Fin des exercices et méthodes de résolution

Les dernières questions portent sur les variations des suites et leur comportement à long terme. Tu dois savoir calculer $U_{n+1} - U_n$ pour déterminer si une suite est croissante ou décroissante.

Pour les questions "Au bout de combien d'années...", plusieurs méthodes s'offrent à toi : calculatrice, algorithmes, ou résolution d'inéquations. L'algorithme est souvent le plus simple pour les valeurs numériques.

Le dernier exercice te montre comment calculer la somme des termes d'une suite. Tu utilises la formule de la somme géométrique après avoir séparé la partie géométrique de la partie constante.

Méthode pratique : Teste toujours tes formules avec les premiers termes pour vérifier que tu n'as pas fait d'erreur de calcul !

Exercices avec corrigé -suites arithméco-géométriques – page 3

Inscris-toi pour voir le contenu.
C'est gratuit!

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Corrigés détaillés - Population et entreprise

Les corrigés te montrent la méthode complète. Pour l'exercice population : $P_0 = 75000$ , puis $P_1 = 76057$ avec la formule $P_{n+1} = 1{,}014 \times P_n + 7$ .

La transformation $U_n = P_n + 500$ donne une suite géométrique de raison 1,014. D'où $P_n = 75500 \times 1{,}014^n - 500$ . En 2015, ça fait environ 86 millions d'habitants !

Pour l'entreprise, même principe : $U_{n+1} = 0{,}9 \times U_n + 100$ . Avec $V_n = U_n - 1000$ , on obtient $U_n = 500 \times 0{,}9^n + 1000$ . L'entreprise ne sera plus en sureffectif au bout de 9 ans.

Point important : La transformation $V_n = U_n - k$ fonctionne toujours pour les suites arithmético-géométriques !

Exercices avec corrigé -suites arithméco-géométriques – page 4

Inscris-toi pour voir le contenu.
C'est gratuit!

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Suite des corrigés - Calculs détaillés

Les calculs de variations suivent toujours la même logique. Pour l'entreprise : $U_{n+1} - U_n = -50 \times 0{,}9^n < 0$ , donc la suite est décroissante. Normal, l'entreprise perd des employés !

L'algorithme AlgoBox te donne une méthode concrète pour résoudre les questions numériques. Tu initialises tes variables, puis tu fais tourner une boucle "tant que" jusqu'à atteindre la condition voulue.

Les trois méthodes (calculatrice, formule, algorithme) donnent le même résultat : cohérence = réussite ! Si tu obtiens des résultats différents, c'est qu'il y a une erreur quelque part.

Conseil pratique : L'algorithme est très utile quand les calculs deviennent trop lourds à la main !

Exercices avec corrigé -suites arithméco-géométriques – page 5

Inscris-toi pour voir le contenu.
C'est gratuit!

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Associations et algorithmes

Pour l'exercice association : $U_{n+1} = 0{,}8 \times U_n + 300$ avec la transformation $V_n = 1500 - U_n$ . Ça donne $U_n = 1500 - 500 \times 0{,}8^{n-1}$ . La suite est croissante car $U_{n+1} - U_n = 100 \times 0{,}8^{n-1} > 0$ .

Question piège : "Quand dépasse-t-on 1500 donateurs ?" En fait, jamais ! La suite tend vers 1500 sans jamais l'atteindre. D'où l'astuce de l'algorithme qui teste 1499 au lieu de 1500.

Cette limite de 1500 s'appelle une asymptote horizontale. C'est logique : avec 20% qui partent et 300 nouveaux, l'équilibre se fait autour de $300 ÷ 0{,}2 = 1500$ donateurs.

Observation importante : Attention aux limites ! Parfois on s'approche d'une valeur sans jamais l'atteindre.

Exercices avec corrigé -suites arithméco-géométriques – page 6

Inscris-toi pour voir le contenu.
C'est gratuit!

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Centre aéré et natation

L'exercice natation suit la même logique : 5% d'abandons, 10 nouvelles inscriptions par semaine. Avec $U_0 = 80$ , on obtient $U_1 = 86$ puis la formule générale $U_{n+1} = 0{,}95 \times U_n + 10$ .

La transformation $a_n = U_n - 200$ donne une suite géométrique de raison 0,95 et premier terme -120. D'où $U_n = 200 - 120 \times 0{,}95^n$ .

Pour dépasser 150 inscrits, il faut 18 semaines. La suite est croissante car $U_{n+1} - U_n = 6 \times 0{,}95^n > 0$ . Elle tend vers 200 inscrits (limite théorique).

Logique du modèle : 10 nouveaux par semaine, 5% d'abandons → équilibre à $10 ÷ 0{,}05 = 200$ inscrits.

Exercices avec corrigé -suites arithméco-géométriques – page 7

Inscris-toi pour voir le contenu.
C'est gratuit!

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Derniers calculs et vérifications

Le calcul de $U_{n+1} - U_n$ pour la natation montre bien la méthode : tu développes, tu factorises, tu simplifies. Résultat : $6 \times 0{,}95^n$ , donc croissance assurée !

L'algorithme confirme les 18 semaines pour dépasser 150 inscrits. Ces programmes sont très pratiques pour vérifier tes calculs théoriques ou quand les formules deviennent trop complexes.

L'exercice 5 est plus direct : suite définie par $U_{n+1} = 2U_n - 3$ avec $U_0 = 4$ . C'est une suite arithmético-géométriques classique qui se résout facilement.

Méthode systématique : Transformation → suite géométrique → expression explicite → propriétés !

Exercices avec corrigé -suites arithméco-géométriques – page 8

Inscris-toi pour voir le contenu.
C'est gratuit!

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Suite théorique et sommes

Pour la suite $U_{n+1} = 2U_n - 3$ , la transformation $V_n = U_n - 3$ donne une suite géométrique de raison 2. D'où $U_n = 2^n + 3$ .

Le calcul de la somme des 11 premiers termes utilise la formule de la somme géométrique : $S = V_0 \times \frac{1-q^{11}}{1-q} + 11 \times 3 = 2047 + 33 = 2080$ .

L'algorithme de vérification donne un résultat légèrement différent (2080 vs 2688), ce qui montre l'importance de vérifier ses calculs ! En cas de doute, reprends étape par étape.

Conseil final : Les suites arithmético-géométriques suivent toujours le même schéma de résolution. Maîtrise cette méthode et tu réussiras tous les exercices !

Si on te demande...

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

Exercices corrigés sur les suites arithmétiques et géométriques

Exercices sur les suites arithmético-géométriques

Fin des exercices et méthodes de résolution

Corrigés détaillés - Population et entreprise

Suite des corrigés - Calculs détaillés

Associations et algorithmes

Centre aéré et natation

Derniers calculs et vérifications

Suite théorique et sommes

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Où puis-je télécharger l'appli Knowunity ?

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Contenus similaires

Comprendre les Suites Géométriques

Suites Arithmétiques et Géométriques

Suites Arithmétiques et Géométriques

Suites Numériques: Arithmétique & Géométrie

Suites Numériques Avancées

Comprendre les Suites Géométriques

Contenus les plus populaires : suite géométrique

Comprendre les Suites Géométriques

Suites Arithmétiques & Géométriques

Suites Arithmétiques & Géométriques

Suites Arithmétiques et Géométriques

Suites Numériques Avancées

Contenus les plus populaires : Maths

Polynômes du Second Degré

Fractions: Opérations Essentielles

Fiches récapitulatives spé maths - TOUT le programme de terminale

Opérations Fractions Essentielles

Concepts de Dérivation

Suites Arithmétiques et Géométriques

Suites Numériques Avancées

Combinatoire et Dénombrement

Mathématiques Terminales: Chapitres 1 à 6

Contenus les plus populaires

Crise de 1929 : Impact et Réponses

Règles de Conduite Essentielles

Crise de 1929 : Causes et Conséquences

Impact de la Première Guerre Mondiale

Mitoses et Méioses

Fonctionnement du Marché Concurrentiel

Règles de Circulation Essentielles

Sources et Défis de la Croissance

Démocratie Athénienne

Les étudiants nous adorent, il ne manque plus que toi.