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Maths
7 déc. 2025
24
9 pages
Angèle 🎀 @angele.blrn
Les fonctions exponentielles sont partout en terminale ! Que ce soit pour résoudre des équations, étudier des suites... Affiche plus
Tu vas découvrir que les exponentielles et les suites géométriques sont étroitement liées. La formule clé à retenir e^(an) = ^n, ce qui fait de une suite géométrique de raison e^a.
Prenons quelques exemples concrets. Pour u_n = e^(ln), on obtient une suite géométrique de raison e^1 = e et de premier terme 1. Pour u_n = 2e^, c'est une suite de raison e^(-3) et de premier terme 2.
Le truc pratique pour identifier une suite géométrique sous forme exponentielle, factorise toujours pour faire apparaître la forme u_0 × q^n. Par exemple, u_n = 3e^ = 3e^(-2) × ^n.
Astuce Quand tu vois une exponentielle avec n en exposant, pense immédiatement "suite géométrique" !
Étudier la position relative de deux courbes, c'est déterminer quand une fonction est au-dessus ou en dessous d'une autre. La méthode est toujours la même tu calcules f(x) - g(x) et tu étudies son signe.
Première étape cruciale forme l'expression f(x) - g(x). Si tu obtiens une expression du second degré, il faudra calculer le discriminant Δ = b² - 4ac pour trouver les racines.
Une fois les racines trouvées, dresse un tableau de signes. Le signe de f(x) - g(x) te dira directement la position positif signifie que C_f est au-dessus de C_g, négatif signifie l'inverse.
Important N'oublie jamais de vérifier le domaine de définition des fonctions avant de conclure !
La dernière étape consiste à interpréter le tableau de signes pour répondre aux questions du type "pour quelles valeurs de x a-t-on f(x) ≥ g(x) ?".
Avec l'exemple f(x) = x - 1 et g(x) = 1/, après simplification tu obtiens f(x) - g(x) = x/. Les points critiques sont x = 0, x = 1 (asymptote) et x = 2.
D'après le tableau de signes, C_f est en dessous de C_g sur ]-∞; 0] ∪ ]1; 2], et C_f est au-dessus de C_g sur [0; 1[ ∪ [2; +∞[. Attention aux crochets et parenthèses selon que les valeurs sont incluses ou non !
Piège à éviter Les valeurs qui annulent le dénominateur ne font jamais partie de la solution !
La dérivée de e^x est e^x elle-même, ce qui rend les calculs super pratiques ! Cette propriété unique facilite énormément la dérivation des fonctions exponentielles.
Pour une somme comme f(x) = 4x - 3e^x, tu dérives terme par terme f'(x) = 4 - 3e^x. Pour un produit comme g(x) = e^x, applique la règle (uv)' = u'v + uv' pour obtenir g'(x) = xe^x.
Pour un quotient comme h(x) = e^x/x, utilise la formule ' = /v². Ici, tu obtiens h'(x) = e^x/x².
Astuce Dans les calculs avec e^x, factorise toujours par e^x à la fin pour simplifier l'expression !
Pour étudier les variations d'une fonction exponentielle, la méthode est classique dérive, étudie le signe de la dérivée, puis dresse le tableau de variations.
Prenons β(x) = e^x. Après dérivation β'(x) = e^x. Comme e^x > 0 toujours, le signe de β'(x) dépend uniquement de .
Tu résous x + 5 = 0, donc x = -5. La fonction est décroissante sur ]-∞; -5] et croissante sur [-5; +∞[. Le minimum est atteint en x = -5 avec β(-5) = -e^(-5).
À retenir e^x étant toujours strictement positif, le signe de la dérivée ne dépend que des autres facteurs !
Les équations exponentielles se résolvent grâce à la propriété fondamentale e^a = e^b ⟺ a = b. C'est ton outil principal pour passer des exponentielles aux exposants.
Pour e^ = 1, écris 1 = e^0, donc 3x - 4 = 0 et x = 4/3. Pour un produit nul comme = 0, traite chaque facteur séparément.
Les inéquations suivent la même logique e^a < e^b ⟺ a < b car la fonction exponentielle est strictement croissante. Pour e^ ≤ 1, écris -2x + 4 ≤ 0, donc x ≥ 2.
Méthode Commence toujours par identifier s'il faut utiliser e^0 = 1 ou la propriété de croissance !
Pour les inéquations plus complexes, parfois tu tomberas sur une équation du second degré après transformation. C'est normal, n'aie pas peur !
Dans l'exemple e^ > e^, tu obtiens 2x² + 8x + 7/2 > 0. Calcule le discriminant Δ = 36, donc deux racines x₁ = -7/2 et x₂ = -1/2.
Avec le tableau de signes, tu vois que l'expression est positive sur ]-∞; -7/2-1/2; +∞[. Rappelle-toi une parabole avec a > 0 est positive sauf entre ses racines.
Conseil Quand tu arrives à une équation du second degré, traite-la normalement avec Δ et le tableau de signes !
L'équation de la tangente en un point a suit toujours la formule y = f'(a) + f(a). Trois étapes simples calcule f'(a), puis f(a), et enfin remplace dans la formule.
Pour f(x) = 3x² - 4x - 1 au point d'abscisse 1 f'(x) = 6x - 4 donc f'(1) = 2, et f(1) = -2. L'équation devient y = 2 - 2 = 2x - 4.
Pour résoudre des équations comme e^ = e^, utilise la propriété e^a = e^b ⟺ a = b. Ici 2x - 3 = -2x, donc 4x = 3 et x = 3/4.
Méthode Pour les tangentes, n'oublie jamais de calculer séparément f'(a) et f(a) avant de tout assembler !
Certaines équations exponentielles nécessitent des transformations plus poussées avant d'appliquer la propriété de base.
Pour e^ = e^, tu obtiens directement 2x - 3 = -2x, soit x = 3/4. Mais pour e^ - e^ = 0, commence par isoler e^ = e^, puis applique la même méthode.
Quand l'équation donne une équation du second degré comme 2x² + 2x - 3 = 0, calcule normalement le discriminant. Ici Δ = 16, donc x₁ = -3 et x₂ = 1.
Stratégie Transforme toujours ton équation pour faire apparaître e^(quelque chose) = e^(autre chose), puis égalise les exposants !
Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.
Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
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Esteban M
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Sudenaz Ocak
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Les fonctions exponentielles sont partout en terminale ! Que ce soit pour résoudre des équations, étudier des suites géométriques ou analyser des courbes, tu vas avoir besoin de maîtriser ces outils essentiels.
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Tu vas découvrir que les exponentielles et les suites géométriques sont étroitement liées. La formule clé à retenir : e^(an) = ^n, ce qui fait de une suite géométrique de raison e^a.
Prenons quelques exemples concrets. Pour u_n = e^(ln), on obtient une suite géométrique de raison e^1 = e et de premier terme 1. Pour u_n = 2e^, c'est une suite de raison e^(-3) et de premier terme 2.
Le truc pratique : pour identifier une suite géométrique sous forme exponentielle, factorise toujours pour faire apparaître la forme u_0 × q^n. Par exemple, u_n = 3e^ = 3e^(-2) × ^n.
Astuce : Quand tu vois une exponentielle avec n en exposant, pense immédiatement "suite géométrique" !
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Une fois les racines trouvées, dresse un tableau de signes. Le signe de f(x) - g(x) te dira directement la position : positif signifie que C_f est au-dessus de C_g, négatif signifie l'inverse.
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D'après le tableau de signes, C_f est en dessous de C_g sur ]-∞; 0] ∪ ]1; 2], et C_f est au-dessus de C_g sur [0; 1[ ∪ [2; +∞[. Attention aux crochets et parenthèses selon que les valeurs sont incluses ou non !
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Prenons β(x) = e^x. Après dérivation : β'(x) = e^x. Comme e^x > 0 toujours, le signe de β'(x) dépend uniquement de .
Tu résous x + 5 = 0, donc x = -5. La fonction est décroissante sur ]-∞; -5] et croissante sur [-5; +∞[. Le minimum est atteint en x = -5 avec β(-5) = -e^(-5).
À retenir : e^x étant toujours strictement positif, le signe de la dérivée ne dépend que des autres facteurs !
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Les inéquations suivent la même logique : e^a < e^b ⟺ a < b car la fonction exponentielle est strictement croissante. Pour e^ ≤ 1, écris -2x + 4 ≤ 0, donc x ≥ 2.
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Dans l'exemple e^ > e^, tu obtiens 2x² + 8x + 7/2 > 0. Calcule le discriminant : Δ = 36, donc deux racines x₁ = -7/2 et x₂ = -1/2.
Avec le tableau de signes, tu vois que l'expression est positive sur ]-∞; -7/2-1/2; +∞[. Rappelle-toi : une parabole avec a > 0 est positive sauf entre ses racines.
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Pour f(x) = 3x² - 4x - 1 au point d'abscisse 1 : f'(x) = 6x - 4 donc f'(1) = 2, et f(1) = -2. L'équation devient y = 2 - 2 = 2x - 4.
Pour résoudre des équations comme e^ = e^, utilise la propriété e^a = e^b ⟺ a = b. Ici : 2x - 3 = -2x, donc 4x = 3 et x = 3/4.
Méthode : Pour les tangentes, n'oublie jamais de calculer séparément f'(a) et f(a) avant de tout assembler !
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Pour e^ = e^, tu obtiens directement 2x - 3 = -2x, soit x = 3/4. Mais pour e^ - e^ = 0, commence par isoler : e^ = e^, puis applique la même méthode.
Quand l'équation donne une équation du second degré comme 2x² + 2x - 3 = 0, calcule normalement le discriminant. Ici Δ = 16, donc x₁ = -3 et x₂ = 1.
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
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