Principe de récurrence et monotonie

Le principe de récurrence est une méthode fondamentale pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les entiers à partir d'un certain rang. Pour l'appliquer, il faut vérifier une initialisation puis montrer l'hérédité.

Prenons l'exemple d'une suite définie par récurrence : $\begin{cases} U_0 = 2 \ U_{n+1} = 2U_n + 3 \end{cases}$

Pour démontrer que $U_n \geq 0$ pour tout $n \geq 0$, on vérifie d'abord que $U_0 = 2 \geq 0$ (initialisation), puis on suppose que $U_n \geq 0$ (hypothèse de récurrence) pour montrer que $U_{n+1} \geq 0$.

Une suite est dite monotone si elle est strictement croissante ou décroissante. Elle est majorée s'il existe un nombre M tel que $U_n \leq M$ pour tout n, et minorée s'il existe m tel que $U_n \geq m$ pour tout n. Une suite bornée est à la fois minorée et majorée.

💡 À retenir : Une suite croissante et majorée est toujours convergente, de même qu'une suite décroissante et minorée (théorème de convergence monotone).

Convergence et suites particulières

Le théorème du point fixe est un outil puissant : si une suite définie par $U_{n+1} = f(U_n)$ converge vers une limite L, alors L = f(L). Ce résultat permet souvent de déterminer la limite d'une suite récurrente.

Les suites géométriques sont particulièrement importantes. Elles sont caractérisées par:

• Formule de récurrence: $U_{n+1} = q \cdot U_n$
• Expression explicite: $U_n = U_0 \cdot q^n$
• Somme des n+1 premiers termes: $U_0 \cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Pour justifier qu'une suite est croissante ou décroissante, plusieurs méthodes s'offrent à vous:

1. Étudier le signe de $U_{n+1} - U_n$
2. Comparer $\frac{U_{n+1}}{U_n}$ à 1
3. Utiliser une fonction f et ses propriétés
4. Utiliser la récurrence

🔍 Astuce : Pour déterminer si une suite est géométrique, vérifiez si $\frac{U_{n+1}}{U_n}$ est constant, ce qui sera votre raison q.