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démonstration par récurrence

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29 nov. 2025

•

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Comprendre la récurrence et la convergence monotone en maths

user profile picture

Philippine

@philippine.lb

Ce cours porte sur les suites numériques, en particulier la... Affiche plus

Maths The Chap 5: Réurrence, venvergence. monotone Principe de récurrence! $ \begin{cases} Mo = 2 \\ M_{n+1} = 2U_n + 3 \end{cases} $ Seit

Principe de récurrence et monotonie

Le principe de récurrence est une méthode fondamentale pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les entiers à partir d'un certain rang. Pour l'appliquer, il faut vérifier une initialisation puis montrer l'hérédité.

Prenons l'exemple d'une suite définie par récurrence : {U0=2 Un+1=2Un+3\begin{cases} U_0 = 2 \ U_{n+1} = 2U_n + 3 \end{cases}

Pour démontrer que Un≥0U_n \geq 0 pour tout n≥0n \geq 0, on vérifie d'abord que U0=2≥0U_0 = 2 \geq 0 (initialisation), puis on suppose que Un≥0U_n \geq 0 (hypothèse de récurrence) pour montrer que Un+1≥0U_{n+1} \geq 0.

Une suite est dite monotone si elle est strictement croissante ou décroissante. Elle est majorée s'il existe un nombre M tel que Un≤MU_n \leq M pour tout n, et minorée s'il existe m tel que Un≥mU_n \geq m pour tout n. Une suite bornée est à la fois minorée et majorée.

💡 À retenir : Une suite croissante et majorée est toujours convergente, de même qu'une suite décroissante et minorée (théorème de convergence monotone).

Maths The Chap 5: Réurrence, venvergence. monotone Principe de récurrence! $ \begin{cases} Mo = 2 \\ M_{n+1} = 2U_n + 3 \end{cases} $ Seit

Convergence et suites particulières

Le théorème du point fixe est un outil puissant : si une suite définie par Un+1=f(Un)U_{n+1} = f(U_n) converge vers une limite L, alors L = f(L). Ce résultat permet souvent de déterminer la limite d'une suite récurrente.

Les suites géométriques sont particulièrement importantes. Elles sont caractérisées par:

  • Formule de récurrence: Un+1=q⋅UnU_{n+1} = q \cdot U_n
  • Expression explicite: Un=U0⋅qnU_n = U_0 \cdot q^n
  • Somme des n+1 premiers termes: U0⋅1−qn+11−qU_0 \cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q}

Pour justifier qu'une suite est croissante ou décroissante, plusieurs méthodes s'offrent à vous:

  1. Étudier le signe de Un+1−UnU_{n+1} - U_n
  2. Comparer Un+1Un\frac{U_{n+1}}{U_n} à 1
  3. Utiliser une fonction f et ses propriétés
  4. Utiliser la récurrence

🔍 Astuce : Pour déterminer si une suite est géométrique, vérifiez si Un+1Un\frac{U_{n+1}}{U_n} est constant, ce qui sera votre raison q.



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Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

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Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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4.8/5

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Principe de récurrence et monotonie

Le principe de récurrence est une méthode fondamentale pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les entiers à partir d'un certain rang. Pour l'appliquer, il faut vérifier une initialisation puis montrer l'hérédité.

Prenons l'exemple d'une suite définie par récurrence : {U0=2 Un+1=2Un+3\begin{cases} U_0 = 2 \ U_{n+1} = 2U_n + 3 \end{cases}

Pour démontrer que Un≥0U_n \geq 0 pour tout n≥0n \geq 0, on vérifie d'abord que U0=2≥0U_0 = 2 \geq 0 (initialisation), puis on suppose que Un≥0U_n \geq 0 (hypothèse de récurrence) pour montrer que Un+1≥0U_{n+1} \geq 0.

Une suite est dite monotone si elle est strictement croissante ou décroissante. Elle est majorée s'il existe un nombre M tel que Un≤MU_n \leq M pour tout n, et minorée s'il existe m tel que Un≥mU_n \geq m pour tout n. Une suite bornée est à la fois minorée et majorée.

💡 À retenir : Une suite croissante et majorée est toujours convergente, de même qu'une suite décroissante et minorée (théorème de convergence monotone).

Maths The Chap 5: Réurrence, venvergence. monotone Principe de récurrence! $ \begin{cases} Mo = 2 \\ M_{n+1} = 2U_n + 3 \end{cases} $ Seit

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Convergence et suites particulières

Le théorème du point fixe est un outil puissant : si une suite définie par Un+1=f(Un)U_{n+1} = f(U_n) converge vers une limite L, alors L = f(L). Ce résultat permet souvent de déterminer la limite d'une suite récurrente.

Les suites géométriques sont particulièrement importantes. Elles sont caractérisées par:

  • Formule de récurrence: Un+1=q⋅UnU_{n+1} = q \cdot U_n
  • Expression explicite: Un=U0⋅qnU_n = U_0 \cdot q^n
  • Somme des n+1 premiers termes: U0⋅1−qn+11−qU_0 \cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q}

Pour justifier qu'une suite est croissante ou décroissante, plusieurs méthodes s'offrent à vous:

  1. Étudier le signe de Un+1−UnU_{n+1} - U_n
  2. Comparer Un+1Un\frac{U_{n+1}}{U_n} à 1
  3. Utiliser une fonction f et ses propriétés
  4. Utiliser la récurrence

🔍 Astuce : Pour déterminer si une suite est géométrique, vérifiez si Un+1Un\frac{U_{n+1}}{U_n} est constant, ce qui sera votre raison q.

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

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Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

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super application pour réviser je révise tout les soirs

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

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