Comprendre la Fonction Ln - Guide de Révision

La fonction logarithme népérien et ses propriétés

Tu vas adorer la fonction ln parce qu'elle a des propriétés vraiment pratiques à retenir. La fonction ln$x$ est définie uniquement sur ]0; +∞[ - impossible de calculer le ln d'un nombre négatif ou nul !

Sa dérivée est hyper simple : (ln x)' = 1/x. Comme cette dérivée est toujours positive sur son domaine, ln$x$ est strictement croissante. C'est un détail qui peut te sauver dans pas mal d'exercices.

Pour les limites, c'est du classique à connaître par cœur : lim ln$x$ = -∞ quand x→0⁺ et lim ln$x$ = +∞ quand x→+∞.

💡 Astuce : Retiens que ln "explose" vers -∞ quand on s'approche de 0, et vers +∞ quand x devient très grand !

Les fonctions composées ln(u$x$) demandent deux conditions importantes. D'abord, u$x$ > 0 pour que ln existe. Ensuite, la dérivée suit la règle : (ln(u$x$))' = u'$x$/u$x$.

Prenons l'exemple de f$x$ = ln$3x-4$. Le domaine d'existence nécessite 3x-4 > 0, donc x > 4/3. Pour la dérivée, on a u$x$ = 3x-4 et u'$x$ = 3, donc f'$x$ = 3/$3x-4$.

Pour calculer les limites de ln(u$x$), pose X = u$x$, trouve d'abord la limite de X, puis applique les limites classiques de ln. C'est une méthode qui marche à tous les coups !