Les bases des suites

Une suite c'est tout simplement une liste ordonnée de nombres qu'on note {a₁, a₂, a₃,...}. Tu peux la voir comme une fonction qui associe à chaque entier n un nombre réel.

Il existe deux façons principales de définir une suite. Les suites par récurrence où chaque terme dépend du précédent $comme u₁ = 5 et u_{n+1} = 7uₙ + 2$, et les suites explicites où tu peux calculer directement n'importe quel terme avec une formule $comme uₙ = 6n - 4$.

Astuce : Pour les suites par récurrence, tu dois toujours connaître le premier terme pour pouvoir calculer tous les autres !

Suites arithmétiques et géométriques

Les suites arithmétiques sont super simples : tu ajoutes toujours la même valeur r pour passer d'un terme au suivant $uₙ₊₁ = uₙ + r$. La formule explicite devient uₙ = u₀ + n·r.

Pour les suites géométriques, tu multiplies toujours par le même nombre q : uₙ₊₁ = uₙ × q. Ça donne uₙ = u₀ × qⁿ en forme explicite.

Les formules de somme sont importantes pour le bac ! Pour une suite arithmétique : S = $premier terme + dernier terme$/2 × nombre de termes. Pour une suite géométrique : S = premier terme × $1 - qⁿᵒᵐᵇʳᵉ ᵈᵉ ᵗᵉʳᵐᵉˢ$/$1 - q$.

Méthode : Identifie d'abord si ta suite est arithmétique (même différence) ou géométrique (même rapport) avant d'appliquer les formules !

Variations et bornes des suites

Le sens de variation d'une suite, c'est savoir si elle monte, descend ou reste stable. Une suite est croissante si uₙ₊₁ ≥ uₙ, décroissante si uₙ₊₁ ≤ uₙ, et constante si uₙ₊₁ = uₙ.

Une suite majorée a un plafond (il existe M tel que uₙ ≤ M), une suite minorée a un plancher (il existe m tel que uₙ ≥ m). Si elle a les deux, elle est bornée.

Pour les limites, c'est vers quoi tend ta suite quand n devient très grand. Une suite convergente a une limite finie, sinon elle est divergente. Retiens ces propriétés clés : une suite croissante et majorée converge toujours, une suite décroissante et minorée aussi !

Bon à savoir : Si une suite croissante n'est pas majorée, elle tend vers +∞. Pareil dans l'autre sens pour -∞ !

Comparaisons et théorème des gendarmes

Quand tu compares des suites, tu peux déduire plein de choses sur leurs limites ! Si uₙ ≤ vₙ et que uₙ tend vers +∞, alors vₙ tend aussi vers +∞. Même principe avec -∞ dans l'autre sens.

Le théorème des gendarmes est super pratique : si tu as trois suites avec uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ, et que les suites du "dessous" et du "dessus" convergent vers la même limite l, alors celle du milieu converge aussi vers l.

C'est comme si la suite vₙ était coincée entre deux autres qui l'obligent à aller vers la même limite !

Technique d'examen : Le théorème des gendarmes est souvent utilisé pour démontrer qu'une suite compliquée converge vers 0 !