Fonctions usuelles et second degré

Fonctions de référence

Petit rappel sur les variations des fonctions de base à connaître sur le bout des doigts.

• Carré ($x^2$) : décroissante sur $]-\infty ; 0]$, croissante sur $[0 ; +\infty[$.
• Inverse ($\frac{1}{x}$) : décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et sur $]0 ; +\infty[$.
• Racine carrée ($\sqrt{x}$) : croissante sur $[0 ; +\infty[$.

Second degré

• Parabole : courbe d'équation $y = ax^2 + bx + c$ dont le sommet a pour abscisse l'annulation de la dérivée ($g'(x) = 0$).
• Orientation : tournée vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$.

💡 Astuce : Pour prouver qu'une suite $(U_n)$ est géométrique, calcule le rapport $\frac{U_{n+1}}{U_n}$ pour montrer qu'il est constant.

Concept de l'exponentielle

De la suite à la fonction

La fonction exponentielle est la version continue d'une suite géométrique.

• Généralisation : on remplace l'entier $n$ par le réel $x$, et la raison $q$ devient la base.
• Base $q$ : la base $q$ d'une fonction exponentielle est toujours strictement positive ($q > 0$).

Exemple : Soit $f(x) = 1,2^x$. L'image de $5$ est $f(5) = 1,2^5 = 2,48832$.

💡 Attention : Ne confonds jamais $x^2$ (variable à la base) et $2^x$ (variable en exposant).

Propriétés et variations

Propriétés algébriques

Les fonctions exponentielles de base $q$ transforment les sommes en produits.

• Relation fondamentale : $q^{x+y} = q^x \times q^y$
• Inverse et quotient : $q^{-x} = \frac{1}{q^x}$ et $q^{x-y} = \frac{q^x}{q^y}$
• Point fixe : toute courbe passe par $(0;1)$ car $q^0 = 1$.

Variations selon la base $q$

• Si $q > 1$ : la fonction $x \mapsto q^x$ est strictement croissante.
• Si $0 < q < 1$ : la fonction $x \mapsto q^x$ est strictement décroissante.

💡 Astuce : Si $q = 1$, la fonction $1^x = 1$ est simplement constante et parallèle à l'axe des abscisses.

Ensembles et moyennes

Ensembles de nombres

• Rationnels ($\mathbb{Q}$) : nombres s'écrivant sous forme de fraction.
• Décimaux ($\mathbb{D}$) : nombres dont l'écriture décimale se termine.
• Réels ($\mathbb{R}$) : tous les nombres de la droite numérique (ex: $\sqrt{2}$).

Moyennes

• Arithmétique : toujours supérieure ou égale à la moyenne géométrique.
• Géométrique : idéale pour estimer la tendance de données très dispersées.

💡 Astuce : Le symbole $*$ sur un ensemble (comme $\mathbb{R}^*$) signifie que l'on exclut le chiffre $0$.

La fonction exponentielle de base $e$

Définition de la fonction exp

Il existe une unique fonction définie sur $\mathbb{R}$ égale à sa propre dérivée et qui vaut $1$ en $0$.

• Base $e$ : notée $\exp(x)$ ou $e^x$, où $e \approx 2,718$.
• Condition initiale : sa dérivée en $0$ vaut $1$ ($f'(0) = 1$).

Propriété caractéristique

• Équation fonctionnelle : pour tous réels $m$ et $n$, on a toujours $f(m+n) = f(m) \times f(n)$.

💡 Astuce : Pour démontrer que $f(m+n) = f(m) \times f(n)$, calcule séparément chaque membre pour vérifier l'égalité.

Limites de la fonction exponentielle

Limites fondamentales

• En $+\infty$ : $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
• En $-\infty$ : $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
• Croissance comparée : $\lim_{x \to + \infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ et $\lim_{x \to + \infty} \frac{x}{e^x} = 0$

Exemple : Trouver la limite de $f(x) = e^{-x}$ en $+\infty$.

• Étape 1 : on pose $X = -x$, quand $x \to +\infty$, $X \to -\infty$.
• Étape 2 : $\lim_{X \to -\infty} e^X = 0$, donc $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$.

💡 Attention : L'expression $e^{-\infty}$ n'est qu'une notation pratique au brouillon pour désigner la limite qui vaut $0$.

Signe et théorème des valeurs intermédiaires

Signe de l'exponentielle

• Toujours positive : pour tout réel $x$, $e^x > 0$ et $e^{-x} > 0$.
• Opposé : l'expression $-e^x$ est toujours strictement négative.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Pour prouver qu'une équation $f(x) = k$ possède une unique solution sur un intervalle, il faut trois conditions :

• Continuité : la fonction doit être continue.
• Monotonie : la fonction doit être strictement croissante ou décroissante.
• Changement de signe : la valeur $k$ doit être comprise entre les limites ou images aux bornes de l'intervalle.

💡 Astuce : Ne confonds pas le signe de l'exposant avec le signe du résultat : $e^{-5}$ est un nombre extrêmement petit, mais strictement positif.