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Limites de Fonctions et Asymptotes

Limites à l'infini

MathsMaths740 vues·Mis à jour 18 sept. 2026·2 pages

Révisions Maths Terminale: Limites et Asymptotes Explications

C
Clémence Marchand@clmencema_cag42

Les limites de fonctions sont un concept mathématique fondamental qui...

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Fiche révision, maths terminale, limite de fonction et asymptote – page 1

Limites de fonctions et asymptotes

Les fonctions de référence ont des comportements prévisibles à l'infini. Pour les fonctions puissance, lorsque xx tend vers +∞+\infty, xnx^n tend vers +∞+\infty pour tout entier nn positif. Si nn est pair, xnx^n tend aussi vers +∞+\infty quand xx tend vers −∞-\infty, mais si nn est impair, la limite est −∞-\infty.

Les limites finies en infini sont tout aussi importantes. Par exemple, 1xn\frac{1}{x^n} tend vers 0+0^+ quand xx tend vers +∞+\infty. Quand une fonction tend vers une valeur finie LL à l'infini, la droite d'équation y=Ly = L devient une asymptote horizontale à la courbe.

Pour les asymptotes verticales, une droite d'équation x=ax = a est asymptote verticale si lim⁡x→af(x)=±∞\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty. N'oubliez pas de vérifier les limites à gauche et à droite de aa.

💡 Pour lever les indéterminations avec des fonctions rationnelles, concentrez-vous sur les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

Pour les fonctions polynomiales, la limite à l'infini est déterminée par le terme de plus haut degré. Pour les fonctions rationnelles, il faut comparer les degrés du numérateur et du dénominateur pour conclure.

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Fiche révision, maths terminale, limite de fonction et asymptote – page 2

Théorèmes et fonctions composées

Le théorème des gendarmes est un outil puissant : si g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x) et si gg et hh ont la même limite LL, alors ff a aussi cette limite LL. C'est comme si ff était "encadrée" et ne pouvait pas échapper à cette limite.

Le théorème de comparaison fonctionne différemment : si f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x) et lim⁡g(x)=+∞\lim g(x) = +\infty, alors lim⁡f(x)=+∞\lim f(x) = +\infty également. Il est très utile pour déterminer les limites infinies.

Pour les fonctions composées h(x)=g(f(x))h(x) = g(f(x)), si lim⁡x→af(x)=b\lim_{x \to a} f(x) = b et lim⁡x→bg(x)=c\lim_{x \to b} g(x) = c, alors lim⁡x→ag(f(x))=c\lim_{x \to a} g(f(x)) = c. Ce principe simplifie grandement le calcul de limites complexes.

⚠️ La fonction exponentielle "domine" toujours les fonctions puissances à l'infini : lim⁡x→+∞exxn=+∞\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty pour tout entier nn.

La fonction exponentielle a des limites caractéristiques : lim⁡x→+∞ex=+∞\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty et lim⁡x→−∞ex=0\lim_{x \to -\infty} e^x = 0. Sa croissance est tellement rapide qu'elle l'emporte sur toute fonction polynomiale quand xx tend vers +∞+\infty.

Si on te demande...

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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Les étudiants nous adorent, il ne manque plus que toi.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan Sutilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klichutilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Annautilisatrice iOS

Mathématiques

Limites de Fonctions et Asymptotes

Limites à l'infini

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Clémence Marchand@clmencema_cag42

Les limites de fonctions sont un concept mathématique fondamental qui nous aide à comprendre le comportement des fonctions lorsque la variable tend vers une valeur spécifique ou vers l'infini. Maîtriser ce sujet est essentiel pour l'analyse de courbes et la...

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Limites de fonctions et asymptotes

Les fonctions de référence ont des comportements prévisibles à l'infini. Pour les fonctions puissance, lorsque xx tend vers +∞+\infty, xnx^n tend vers +∞+\infty pour tout entier nn positif. Si nn est pair, xnx^n tend aussi vers +∞+\infty quand xx tend vers −∞-\infty, mais si nn est impair, la limite est −∞-\infty.

Les limites finies en infini sont tout aussi importantes. Par exemple, 1xn\frac{1}{x^n} tend vers 0+0^+ quand xx tend vers +∞+\infty. Quand une fonction tend vers une valeur finie LL à l'infini, la droite d'équation y=Ly = L devient une asymptote horizontale à la courbe.

Pour les asymptotes verticales, une droite d'équation x=ax = a est asymptote verticale si lim⁡x→af(x)=±∞\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty. N'oubliez pas de vérifier les limites à gauche et à droite de aa.

💡 Pour lever les indéterminations avec des fonctions rationnelles, concentrez-vous sur les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

Pour les fonctions polynomiales, la limite à l'infini est déterminée par le terme de plus haut degré. Pour les fonctions rationnelles, il faut comparer les degrés du numérateur et du dénominateur pour conclure.

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Le théorème de comparaison fonctionne différemment : si f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x) et lim⁡g(x)=+∞\lim g(x) = +\infty, alors lim⁡f(x)=+∞\lim f(x) = +\infty également. Il est très utile pour déterminer les limites infinies.

Pour les fonctions composées h(x)=g(f(x))h(x) = g(f(x)), si lim⁡x→af(x)=b\lim_{x \to a} f(x) = b et lim⁡x→bg(x)=c\lim_{x \to b} g(x) = c, alors lim⁡x→ag(f(x))=c\lim_{x \to a} g(f(x)) = c. Ce principe simplifie grandement le calcul de limites complexes.

⚠️ La fonction exponentielle "domine" toujours les fonctions puissances à l'infini : lim⁡x→+∞exxn=+∞\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty pour tout entier nn.

La fonction exponentielle a des limites caractéristiques : lim⁡x→+∞ex=+∞\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty et lim⁡x→−∞ex=0\lim_{x \to -\infty} e^x = 0. Sa croissance est tellement rapide qu'elle l'emporte sur toute fonction polynomiale quand xx tend vers +∞+\infty.

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