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Mathématiques

Limites de Fonctions et Asymptotes

Limites à l'infini

Maths744Mis à jour 9 oct. 20262 pages

Révisions Maths Terminale: Limites et Asymptotes Explications

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Clémence Marchand@clmencema_cag42
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Les limites de fonctions sont un concept mathématique fondamental qui nous aide à comprendre le comportement des fonctions lorsque la variable tend vers une valeur spécifique ou vers l'infini. Maîtriser ce sujet est essentiel pour l'analyse de courbes et la compréhension des asymptotes.
Fiche révision, maths terminale, limite de fonction et asymptote – page 1

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Limites de fonctions et asymptotes

Les fonctions de référence ont des comportements prévisibles à l'infini. Pour les fonctions puissance, lorsque xx tend vers +∞+\infty, xnx^n tend vers +∞+\infty pour tout entier nn positif. Si nn est pair, xnx^n tend aussi vers +∞+\infty quand xx tend vers −∞-\infty, mais si nn est impair, la limite est −∞-\infty.

Les limites finies en infini sont tout aussi importantes. Par exemple, 1xn\frac{1}{x^n} tend vers 0+0^+ quand xx tend vers +∞+\infty. Quand une fonction tend vers une valeur finie LL à l'infini, la droite d'équation y=Ly = L devient une asymptote horizontale à la courbe.

Pour les asymptotes verticales, une droite d'équation x=ax = a est asymptote verticale si lim⁡x→af(x)=±∞\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty. N'oubliez pas de vérifier les limites à gauche et à droite de aa.

💡 Pour lever les indéterminations avec des fonctions rationnelles, concentrez-vous sur les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

Pour les fonctions polynomiales, la limite à l'infini est déterminée par le terme de plus haut degré. Pour les fonctions rationnelles, il faut comparer les degrés du numérateur et du dénominateur pour conclure.

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Théorèmes et fonctions composées

Le théorème des gendarmes est un outil puissant : si g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x) et si gg et hh ont la même limite LL, alors ff a aussi cette limite LL. C'est comme si ff était "encadrée" et ne pouvait pas échapper à cette limite.

Le théorème de comparaison fonctionne différemment : si f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x) et lim⁡g(x)=+∞\lim g(x) = +\infty, alors lim⁡f(x)=+∞\lim f(x) = +\infty également. Il est très utile pour déterminer les limites infinies.

Pour les fonctions composées h(x)=g(f(x))h(x) = g(f(x)), si lim⁡x→af(x)=b\lim_{x \to a} f(x) = b et lim⁡x→bg(x)=c\lim_{x \to b} g(x) = c, alors lim⁡x→ag(f(x))=c\lim_{x \to a} g(f(x)) = c. Ce principe simplifie grandement le calcul de limites complexes.

⚠️ La fonction exponentielle "domine" toujours les fonctions puissances à l'infini : lim⁡x→+∞exxn=+∞\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty pour tout entier nn.

La fonction exponentielle a des limites caractéristiques : lim⁡x→+∞ex=+∞\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty et lim⁡x→−∞ex=0\lim_{x \to -\infty} e^x = 0. Sa croissance est tellement rapide qu'elle l'emporte sur toute fonction polynomiale quand xx tend vers +∞+\infty.

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