Les suites et leurs variations

Une suite numérique associe à chaque rang n un nombre réel Un. C'est comme avoir une fonction mais pour des nombres entiers seulement ! Quand Un dépend des termes précédents, on parle de relation de récurrence.

Pour savoir si ta suite monte ou descend, regarde la différence Un+1 - Un. Si elle est toujours positive, ta suite est strictement croissante. Si elle est toujours négative, elle est strictement décroissante.

Les suites arithmétiques ont une différence constante r entre deux termes consécutifs : Un+1 = Un + r. Le terme général s'écrit Un = U0 + nr si on part de U0.

Astuce pratique : Pour une suite arithmétique, la somme des n premiers termes = (nombre de termes × somme des termes extrêmes) ÷ 2

Les suites géométriques ont un rapport constant q : Un+1 = q × Un. Leur terme général devient Un = U0 × qn.

Formules des suites géométriques et premières limites

Pour une suite géométrique qui commence par Up au rang p, le terme général s'écrit Un = Up × qn-p. Cette formule te permet de calculer n'importe quel terme directement !

La somme des n premiers termes d'une suite géométrique suit la formule : Sn = premier terme × $1-qn$/$1-q$. Attention, cette formule marche seulement si q ≠ 1.

Une suite converge vers une limite l quand ses termes se rapprochent indéfiniment de cette valeur. On note alors lim Un = l quand n→+∞.

À retenir : Une suite peut aussi diverger vers +∞ ou -∞, ou ne pas avoir de limite du tout !

Pour les suites géométriques, tout dépend de q : si -1 < q < 1, alors qn → 0. Si q = 1, alors qn → 1. Si q > 1, alors qn → +∞. Si q < -1, la limite n'existe pas.

Convergence et limites de référence

Tu peux facilement reconnaître si une suite converge ou diverge ! Une suite a une limite finie L si tous ses termes finissent par rester proches de L. Une suite a une limite infinie si ses termes deviennent arbitrairement grands.

Les limites de référence à connaître par cœur : 1/np → 0 pour tout p positif, 1/√n → 0, et qn → 0 quand -1 < q < 1.

Pour calculer des limites complexes, utilise les opérations sur les limites. La limite d'une somme égale la somme des limites, pareil pour les produits et quotients (quand c'est possible).

Attention aux pièges : Les formes indéterminées comme "∞-∞", "0×∞" ou "∞/∞" demandent des techniques spéciales !

Quand tu rencontres une forme indéterminée, factorise par le terme prépondérant - celui qui "impose sa limite" aux autres.

Suites récurrentes et convergence monotone

Pour lever une indétermination, identifie le terme qui grandit le plus vite : √n < n < n² < n³... Plus l'exposant est grand, plus le terme domine les autres !

Une suite est majorée s'il existe un nombre M tel que tous ses termes restent inférieurs à M. Elle est minorée si tous ses termes restent supérieurs à un nombre m.

Le théorème de convergence monotone te simplifie la vie : toute suite croissante et majorée converge forcément ! Même principe pour une suite décroissante et minorée.

Méthode pour les suites récurrentes : Si une suite récurrente Un+1 = f(Un) converge vers L, alors L = f(L) !

Pour trouver la limite d'une suite récurrente convergente, pose L = lim Un = lim Un+1, puis résous l'équation L = f(L).

Comparaison et théorèmes de convergence

Les théorèmes de comparaison sont tes meilleurs amis pour les limites difficiles ! Si un ≤ vn et que un → +∞, alors vn → +∞ aussi.

Le théorème des gendarmes fonctionne comme son nom l'indique : si un ≤ vn ≤ wn et que les "gendarmes" un et wn convergent vers la même limite L, alors vn converge aussi vers L.

Utilise les encadrements classiques : -1 ≤ cos(x) ≤ 1 et -1 ≤ sin(x) ≤ 1 pour appliquer le théorème des gendarmes avec les fonctions trigonométriques.

Le passage à la limite respecte les inégalités : si un ≤ vn et que les suites convergent, alors leurs limites vérifient la même inégalité.

Récapitulatif des suites géométriques : Tout dépend de |q| ! Si |q| < 1, ça converge vers 0. Si |q| > 1, ça diverge vers l'infini. Si q = 1, c'est constant.