Courbes et tableaux de signes

La représentation graphique d'une fonction du second degré est une parabole. Son orientation dépend du signe de a :

• Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut
• Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas

Definition: La parabole est la courbe caractéristique des fonctions quadratiques.

Les tableaux de signes permettent d'étudier le signe de la fonction selon les valeurs de x. Ils varient en fonction du discriminant :

• Pour Δ < 0 : le signe de f(x) est constant et égal au signe de a
• Pour Δ = 0 : f(x) change de signe en x₀ = -b/(2a)
• Pour Δ > 0 : f(x) change de signe en x₁ et x₂

Highlight: L'étude du signe de f(x) est cruciale pour comprendre le comportement de la fonction.

Tableau de variations et axe de symétrie

Le tableau de variations d'une fonction du second degré dépend du signe de a :

• Si a > 0 : f admet un minimum en x = α
• Si a < 0 : f admet un maximum en x = α

Example: Pour f(x) = 2x² - 4x - 6, on trouve α = 1 et β = -8. Le tableau de variations montre que f décroît de -∞ à 1, puis croît de 1 à +∞, avec un minimum en (1, -8).

L'axe de symétrie de la parabole a pour équation x = α. C'est une caractéristique importante de la fonction quadratique.

Quote: "La parabole représentative de f admet un axe de symétrie d'équation x = α."

Formes remarquables des fonctions du second degré

Les trois formes principales d'une fonction du second degré sont :

1. Forme développée: ax² + bx + c
2. Forme canonique: a$x-α$² + β
3. Forme factorisée: a$x-x₁$$x-x₂$

Highlight: Chaque forme a ses avantages pour l'étude de la fonction :

• La forme développée est utile pour les calculs
• La forme canonique permet d'identifier facilement le sommet et l'axe de symétrie
• La forme factorisée met en évidence les racines de l'équation

Ces formes sont essentielles pour maîtriser l'étude complète des fonctions quadratiques.

Généralités sur les fonctions du second degré

La forme canonique d'une fonction du second degré s'écrit f(x) = a$x-α$² + β. Cette forme est particulièrement utile pour étudier les propriétés de la fonction.

Exemple: Pour trouver la forme canonique de f(x) = 3x² - 6x + 1, on détermine d'abord α = -b/(2a) = 1, puis β = f(α) = -2, ce qui donne f(x) = 3$x-1$² - 2.

Le discriminant Δ = b²-4ac est un outil essentiel pour analyser les racines de l'équation ax²+bx+c=0.

Highlight: Le signe du discriminant détermine le nombre de solutions réelles :

• Δ > 0 : deux solutions distinctes
• Δ = 0 : une solution double
• Δ < 0 : pas de solution réelle

La factorisation de la fonction dépend du discriminant et s'écrit :

• Si Δ > 0 : f(x) = a$x-x₁$$x-x₂$
• Si Δ = 0 : f(x) = a$x-x₀$²

Vocabulary: La forme factorisée permet de visualiser directement les racines de l'équation.