Mathématiques

Règles de Base de la Dérivation

Fonctions exponentielles

529

•

29 nov. 2025

•

3 pages

Comprendre la Fonction Exponentielle

Manon

@manon_rppl

Tu vas découvrir la fonction exponentielle, un outil mathématique... Affiche plus

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Fonction exponentielle de base q

Imagine une suite géométrique comme $u_n = 2^n$ qui donne 1, 2, 4, 8, 16... Maintenant, au lieu de rester coincé avec des entiers, on peut "relier les points" et créer une fonction exponentielle qui marche pour n'importe quel nombre réel !

La fonction exponentielle de base q s'écrit $f(x) = q^x$ avec $q > 0$ . Elle transforme une suite en courbe continue. Par exemple, avec $f(x) = 2^x$ , tu peux calculer $2^{3,5}$ ou même $2^{-1,7}$ !

Ces fonctions ont des propriétés de calcul super pratiques : $q^{x+y} = q^x \times q^y$ , $q^0 = 1$ , et $q^{-x} = \frac{1}{q^x}$ . Elles sont toujours strictement positives sur tout $\mathbb{R}$ .

💡 Astuce : Retiens que $q^0 = 1$ toujours ! Ça veut dire que toutes les courbes exponentielles passent par le point (0;1).

Variations et fonction exponentielle de base e

Le comportement de ta fonction exponentielle dépend de ta base q. Si $0 < q < 1$ , elle décroît $comme $(\frac{1}{2})^x$$ . Si $q > 1$ , elle croît $comme $3^x$$ . Simple !

Parmi toutes ces fonctions, il y en a une vraiment spéciale : celle de base e (environ 2,72). Elle a une propriété magique au point (0;1) : sa tangente a une pente de exactement 1.

Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle (avec un grand F !). On la note $\exp(x) = e^x$ . Son super-pouvoir ? $\exp'(x) = e^x$ : elle est égale à sa propre dérivée !

💡 À retenir : La fonction $e^x$ est la seule fonction qui ne change pas quand tu la dérives. C'est ça qui la rend si utile en physique et économie !

Étude complète et résolution d'équations

La fonction exponentielle $e^x$ est toujours strictement positive. Pourquoi ? Parce que $e^x = (e^{x/2})^2$ , et un carré est toujours positif ! Elle ne touche jamais l'axe des x.

Comme $\exp'(x) = e^x > 0$ partout, la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Plus x augmente, plus $e^x$ grandit vite !

Pour dériver des fonctions composées comme $e^{3x+1}$ , utilise la règle : dérivée de $e^{u(x)}$ = $u'(x) \times e^{u(x)}$ . Donc $(e^{3x+1})' = 3 \times e^{3x+1}$ .

Résoudre avec l'exponentielle devient facile : $e^a = e^b \Leftrightarrow a = b$ et $e^a < e^b \Leftrightarrow a < b$ . La fonction étant strictement croissante, tu peux "enlever" les exponentielles des deux côtés !

💡 Méthode : Pour résoudre $e^{2x-1} = e^{x+3}$ , tu obtiens directement $2x-1 = x+3$ , donc $x = 4$ !

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

Stefan S

utilisateur iOS

Samantha Klich

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Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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Esteban M

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Leny

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Tu vas découvrir la fonction exponentielle, un outil mathématique super puissant qui apparaît partout : croissance démographique, intérêts composés, radioactivité… Elle a une particularité incroyable : sa dérivée est égale à elle-même !

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Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle (avec un grand F !). On la note $\exp(x) = e^x$ . Son super-pouvoir ? $\exp'(x) = e^x$ : elle est égale à sa propre dérivée !

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Leny

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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