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Maths
14 déc. 2025
236
7 pages
VirginieA. @virginiemtn
Le logarithme népérien et la fonction exponentielle sont deux fonctions mathématiques fondamentales qui se complètent parfaitement. Ces fonctions... Affiche plus
![Chapitre 8: Tonct Exponentielle
et fonct logaritime Neperien (Neper)
Définit: La fonct logarithme neparien, notée (M est la fonct
$M: ]0; +](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FaehfuXtccQffUuxPiizC_image_page_1.webp&w=2048&q=75)
Tu vas découvrir une fonction super utile qui transforme les multiplications en additions ! Le logarithme népérien, noté ln, est défini sur ]0; +∞[ et prend toutes les valeurs réelles.
Cette fonction a des propriétés de base simples à retenir ln(1) = 0, ln(e) = 1 et ln = -1. Le nombre e ≈ 2,718 est la base du logarithme népérien et apparaît partout en mathématiques.
Les relations fondamentales à connaître absolument sont pour tout x réel, ln = x, et pour tout x strictement positif, e^(ln(x)) = x. Ces deux fonctions sont donc réciproques l'une de l'autre.
💡 Astuce Le logarithme décimal (log) que tu connais peut-être est lié au ln par la formule log(x) = ln(x)/ln(10).
![Chapitre 8: Tonct Exponentielle
et fonct logaritime Neperien (Neper)
Définit: La fonct logarithme neparien, notée (M est la fonct
$M: ]0; +](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FaehfuXtccQffUuxPiizC_image_page_2.webp&w=2048&q=75)
Le ln préserve l'ordre si ln(x) = ln(y), alors x = y. De même, si ln(x) < ln(y), alors x < y. Cette propriété est parfaite pour résoudre des équations et inéquations !
La propriété magique du logarithme est qu'il transforme les produits en sommes ln(xy) = ln(x) + ln(y). Cette règle donne naissance à d'autres formules pratiques.
Tu peux aussi utiliser ln = -ln(x), ln = ln(x) - ln(y), ln(√x) = ln(x)/2 et ln = n×ln(x). Ces formules simplifient énormément les calculs complexes.
💡 Exemple pratique Pour calculer 3ln(2) + ln(5) - 2ln(3), tu peux le transformer en ln(8×5/9) = ln(40/9).
![Chapitre 8: Tonct Exponentielle
et fonct logaritime Neperien (Neper)
Définit: La fonct logarithme neparien, notée (M est la fonct
$M: ]0; +](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FaehfuXtccQffUuxPiizC_image_page_3.webp&w=2048&q=75)
La fonction ln est définie uniquement sur ]0; +∞[ - impossible de calculer le ln d'un nombre négatif ! Ses limites sont importantes quand x tend vers 0⁺, ln(x) tend vers -∞, et quand x tend vers +∞, ln(x) tend vers +∞.
La dérivée de ln(x) est 1/x, ce qui est toujours positif sur son domaine de définition. Cela signifie que la fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[.
L'axe des ordonnées est une asymptote verticale puisque ln(x) → -∞ quand x → 0⁺. La tangente en x = 1 a pour équation y = x - 1, ce qui peut être utile pour des approximations.
💡 Application Ces propriétés permettent de résoudre des problèmes de pourcentages complexes, comme calculer le taux d'augmentation constant nécessaire pour atteindre un objectif.
![Chapitre 8: Tonct Exponentielle
et fonct logaritime Neperien (Neper)
Définit: La fonct logarithme neparien, notée (M est la fonct
$M: ]0; +](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FaehfuXtccQffUuxPiizC_image_page_4.webp&w=2048&q=75)
Voici la star des fonctions l'exponentielle e^x est la seule fonction égale à sa propre dérivée ! Cette propriété unique la rend indispensable en physique et en sciences naturelles.
Ses propriétés de calcul ressemblent à celles des puissances e^0 = 1, e^1 = e ≈ 2,71, et e^x > 0 pour tout x réel. L'exponentielle ne peut jamais être négative !
Les règles de calcul sont e^x × e^y = e^, e^x / e^y = e^, 1/e^x = e^ et ^n = e^(nx). Ces formules te permettront de simplifier n'importe quelle expression exponentielle.
💡 À retenir L'exponentielle transforme les additions en multiplications, c'est l'inverse du logarithme !
![Chapitre 8: Tonct Exponentielle
et fonct logaritime Neperien (Neper)
Définit: La fonct logarithme neparien, notée (M est la fonct
$M: ]0; +](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FaehfuXtccQffUuxPiizC_image_page_5.webp&w=2048&q=75)
Avec les règles de calcul, tu peux simplifier des expressions comme A = /e^(-5). En appliquant les propriétés, cela donne A = e^(7-4-(-5)) = e^8. C'est bien plus simple !
La fonction e^x est strictement croissante sur ℝ car sa dérivée e^x est toujours positive. Elle n'a ni maximum ni minimum, mais des comportements asymptotiques intéressants.
Quand x → -∞, e^x → 0 , et quand x → +∞, e^x → +∞. L'axe des abscisses est donc une asymptote horizontale à gauche.
💡 Dérivation Pour dériver des fonctions composées avec e^x, utilise la règle ' = u'(x) × e^(u(x)).
![Chapitre 8: Tonct Exponentielle
et fonct logaritime Neperien (Neper)
Définit: La fonct logarithme neparien, notée (M est la fonct
$M: ]0; +](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FaehfuXtccQffUuxPiizC_image_page_6.webp&w=2048&q=75)
Pour résoudre des équations avec des exponentielles, utilise cette propriété fondamentale si e^x = e^y, alors x = y. De même, si e^x < e^y, alors x < y.
Prenons l'exemple e^ = e^(-3). En appliquant la propriété, on obtient x² - 2x = -3, soit x² - 2x + 3 = 0. Tu résous ensuite cette équation du second degré normalement.
Pour cette équation particulière, le discriminant Δ = 4 - 12 = -8 < 0, donc il n'y a pas de solution réelle. L'équation exponentielle n'a donc pas de solution.
💡 Méthode Transforme toujours tes équations exponentielles pour avoir la même base des deux côtés, puis égalise les exposants.
![Chapitre 8: Tonct Exponentielle
et fonct logaritime Neperien (Neper)
Définit: La fonct logarithme neparien, notée (M est la fonct
$M: ]0; +](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FaehfuXtccQffUuxPiizC_image_page_7.webp&w=2048&q=75)
Pour dériver ln(u(x)) où u(x) est une fonction strictement positive, utilise la formule (ln(u(x)))' = u'(x)/u(x). Cette règle est fondamentale pour les calculs complexes.
Pour dériver e^(u(x)), la formule est ' = u'(x) × e^(u(x)). L'exponentielle "sort" de la dérivée en se multipliant par la dérivée de l'exposant.
Ces règles de dérivation te permettent de traiter des fonctions très complexes en décomposant le problème. Par exemple, pour dériver ln, tu obtiens 2x/.
💡 Astuce Mémorise bien ces deux formules de dérivation composée, elles reviennent constamment dans les exercices et au bac !
Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
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Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
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Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
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Samantha Klich
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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
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Thomas R
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Esteban M
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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Le logarithme népérien et la fonction exponentielle sont deux fonctions mathématiques fondamentales qui se complètent parfaitement. Ces fonctions sont essentielles pour résoudre des équations complexes et modéliser de nombreux phénomènes naturels comme la croissance démographique ou la radioactivité.
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Tu vas découvrir une fonction super utile qui transforme les multiplications en additions ! Le logarithme népérien, noté ln, est défini sur ]0; +∞[ et prend toutes les valeurs réelles.
Cette fonction a des propriétés de base simples à retenir : ln(1) = 0, ln(e) = 1 et ln = -1. Le nombre e ≈ 2,718 est la base du logarithme népérien et apparaît partout en mathématiques.
Les relations fondamentales à connaître absolument sont : pour tout x réel, ln = x, et pour tout x strictement positif, e^(ln(x)) = x. Ces deux fonctions sont donc réciproques l'une de l'autre.
💡 Astuce : Le logarithme décimal (log) que tu connais peut-être est lié au ln par la formule : log(x) = ln(x)/ln(10).
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Le ln préserve l'ordre : si ln(x) = ln(y), alors x = y. De même, si ln(x) < ln(y), alors x < y. Cette propriété est parfaite pour résoudre des équations et inéquations !
La propriété magique du logarithme est qu'il transforme les produits en sommes : ln(xy) = ln(x) + ln(y). Cette règle donne naissance à d'autres formules pratiques.
Tu peux aussi utiliser : ln = -ln(x), ln = ln(x) - ln(y), ln(√x) = ln(x)/2 et ln = n×ln(x). Ces formules simplifient énormément les calculs complexes.
💡 Exemple pratique : Pour calculer 3ln(2) + ln(5) - 2ln(3), tu peux le transformer en ln(8×5/9) = ln(40/9).
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La fonction ln est définie uniquement sur ]0; +∞[ - impossible de calculer le ln d'un nombre négatif ! Ses limites sont importantes : quand x tend vers 0⁺, ln(x) tend vers -∞, et quand x tend vers +∞, ln(x) tend vers +∞.
La dérivée de ln(x) est 1/x, ce qui est toujours positif sur son domaine de définition. Cela signifie que la fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[.
L'axe des ordonnées est une asymptote verticale puisque ln(x) → -∞ quand x → 0⁺. La tangente en x = 1 a pour équation y = x - 1, ce qui peut être utile pour des approximations.
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Voici la star des fonctions : l'exponentielle e^x est la seule fonction égale à sa propre dérivée ! Cette propriété unique la rend indispensable en physique et en sciences naturelles.
Ses propriétés de calcul ressemblent à celles des puissances : e^0 = 1, e^1 = e ≈ 2,71, et e^x > 0 pour tout x réel. L'exponentielle ne peut jamais être négative !
Les règles de calcul sont : e^x × e^y = e^, e^x / e^y = e^, 1/e^x = e^ et ^n = e^(nx). Ces formules te permettront de simplifier n'importe quelle expression exponentielle.
💡 À retenir : L'exponentielle transforme les additions en multiplications, c'est l'inverse du logarithme !
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La fonction e^x est strictement croissante sur ℝ car sa dérivée e^x est toujours positive. Elle n'a ni maximum ni minimum, mais des comportements asymptotiques intéressants.
Quand x → -∞, e^x → 0 , et quand x → +∞, e^x → +∞. L'axe des abscisses est donc une asymptote horizontale à gauche.
💡 Dérivation : Pour dériver des fonctions composées avec e^x, utilise la règle : ' = u'(x) × e^(u(x)).
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Prenons l'exemple e^ = e^(-3). En appliquant la propriété, on obtient x² - 2x = -3, soit x² - 2x + 3 = 0. Tu résous ensuite cette équation du second degré normalement.
Pour cette équation particulière, le discriminant Δ = 4 - 12 = -8 < 0, donc il n'y a pas de solution réelle. L'équation exponentielle n'a donc pas de solution.
💡 Méthode : Transforme toujours tes équations exponentielles pour avoir la même base des deux côtés, puis égalise les exposants.
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Pour dériver ln(u(x)) où u(x) est une fonction strictement positive, utilise la formule : (ln(u(x)))' = u'(x)/u(x). Cette règle est fondamentale pour les calculs complexes.
Pour dériver e^(u(x)), la formule est : ' = u'(x) × e^(u(x)). L'exponentielle "sort" de la dérivée en se multipliant par la dérivée de l'exposant.
Ces règles de dérivation te permettent de traiter des fonctions très complexes en décomposant le problème. Par exemple, pour dériver ln, tu obtiens 2x/.
💡 Astuce : Mémorise bien ces deux formules de dérivation composée, elles reviennent constamment dans les exercices et au bac !
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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
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