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Fonctions logarithmiques et exponentielles

fonction exponentielle naturelle

Maths249 vues·Mis à jour 4 juil. 2026·7 pages

Fonction exponentielle et logarithme népérien : Concepts clés

VirginieA. @virginiemtn

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Le logarithme népérien et la fonction exponentielle sont deux fonctions...

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Chapitre 8: Tonct Exponentielle
et fonct logaritime Neperien (Neper)

Définit: La fonct logarithme neparien, notée (M est la fonct
$M: ]0; +

La fonction logarithme népérien

Tu vas découvrir une fonction super utile qui transforme les multiplications en additions ! Le logarithme népérien, noté ln, est défini sur ]0; +∞[ et prend toutes les valeurs réelles.

Cette fonction a des propriétés de base simples à retenir : ln(1) = 0, ln $e$ = 1 et ln $1/e$ = -1. Le nombre e ≈ 2,718 est la base du logarithme népérien et apparaît partout en mathématiques.

Les relations fondamentales à connaître absolument sont : pour tout x réel, ln $e^x$ = x, et pour tout x strictement positif, e^(ln $x$ ) = x. Ces deux fonctions sont donc réciproques l'une de l'autre.

💡 Astuce : Le logarithme décimal (log) que tu connais peut-être est lié au ln par la formule : log $x$ = ln $x$ /ln(10).

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Propriétés du logarithme et résolution d'équations

Le ln préserve l'ordre : si ln $x$ = ln $y$ , alors x = y. De même, si ln $x$ < ln $y$ , alors x < y. Cette propriété est parfaite pour résoudre des équations et inéquations !

La propriété magique du logarithme est qu'il transforme les produits en sommes : ln(xy) = ln $x$ + ln $y$ . Cette règle donne naissance à d'autres formules pratiques.

Tu peux aussi utiliser : ln $1/x$ = -ln $x$ , ln(x/y) = ln $x$ - ln $y$ , ln(√x) = ln $x$ /2 et ln $x^n$ = n×ln $x$ . Ces formules simplifient énormément les calculs complexes.

💡 Exemple pratique : Pour calculer 3ln(2) + ln(5) - 2ln(3), tu peux le transformer en ln $8×5/9$ = ln $40/9$ .

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Étude complète de la fonction ln

La fonction ln est définie uniquement sur ]0; +∞[ - impossible de calculer le ln d'un nombre négatif ! Ses limites sont importantes : quand x tend vers 0⁺, ln $x$ tend vers -∞, et quand x tend vers +∞, ln $x$ tend vers +∞.

La dérivée de ln $x$ est 1/x, ce qui est toujours positif sur son domaine de définition. Cela signifie que la fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[.

L'axe des ordonnées $x = 0$ est une asymptote verticale puisque ln $x$ → -∞ quand x → 0⁺. La tangente en x = 1 a pour équation y = x - 1, ce qui peut être utile pour des approximations.

💡 Application : Ces propriétés permettent de résoudre des problèmes de pourcentages complexes, comme calculer le taux d'augmentation constant nécessaire pour atteindre un objectif.

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La fonction exponentielle

Voici la star des fonctions : l'exponentielle e^x est la seule fonction égale à sa propre dérivée ! Cette propriété unique la rend indispensable en physique et en sciences naturelles.

Ses propriétés de calcul ressemblent à celles des puissances : e^0 = 1, e^1 = e ≈ 2,71, et e^x > 0 pour tout x réel. L'exponentielle ne peut jamais être négative !

Les règles de calcul sont : e^x × e^y = e^ $x+y$ , e^x / e^y = e^ $x-y$ , 1/e^x = e^ $-x$ et $e^x$ ^n = e^(nx). Ces formules te permettront de simplifier n'importe quelle expression exponentielle.

💡 À retenir : L'exponentielle transforme les additions en multiplications, c'est l'inverse du logarithme !

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Calculs et propriétés de e^x

Avec les règles de calcul, tu peux simplifier des expressions comme A = $e^7 × e^(-4)$ /e^ $-5$ . En appliquant les propriétés, cela donne A = e^ $7-4-(-5)$ = e^8. C'est bien plus simple !

La fonction e^x est strictement croissante sur ℝ car sa dérivée e^x est toujours positive. Elle n'a ni maximum ni minimum, mais des comportements asymptotiques intéressants.

Quand x → -∞, e^x → 0 (asymptote horizontale y = 0), et quand x → +∞, e^x → +∞. L'axe des abscisses est donc une asymptote horizontale à gauche.

💡 Dérivation : Pour dériver des fonctions composées avec e^x, utilise la règle : $e^(u(x))$ ' = u' $x$ × e^(u $x$ ).

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Résolution d'équations exponentielles

Pour résoudre des équations avec des exponentielles, utilise cette propriété fondamentale : si e^x = e^y, alors x = y. De même, si e^x < e^y, alors x < y.

Prenons l'exemple e^ $x²-2x$ = e^ $-3$ . En appliquant la propriété, on obtient x² - 2x = -3, soit x² - 2x + 3 = 0. Tu résous ensuite cette équation du second degré normalement.

Pour cette équation particulière, le discriminant Δ = 4 - 12 = -8 < 0, donc il n'y a pas de solution réelle. L'équation exponentielle n'a donc pas de solution.

💡 Méthode : Transforme toujours tes équations exponentielles pour avoir la même base des deux côtés, puis égalise les exposants.

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Dérivation des fonctions composées

Pour dériver ln(u $x$ ) où u $x$ est une fonction strictement positive, utilise la formule : (ln(u $x$ ))' = u' $x$ /u $x$ . Cette règle est fondamentale pour les calculs complexes.

Pour dériver e^(u $x$ ), la formule est : $e^(u(x))$ ' = u' $x$ × e^(u $x$ ). L'exponentielle "sort" de la dérivée en se multipliant par la dérivée de l'exposant.

Ces règles de dérivation te permettent de traiter des fonctions très complexes en décomposant le problème. Par exemple, pour dériver ln $x² + 1$ , tu obtiens 2x/ $x² + 1$ .

💡 Astuce : Mémorise bien ces deux formules de dérivation composée, elles reviennent constamment dans les exercices et au bac !

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