Définition et représentation graphique des fonctions linéaires

Une fonction linéaire est définie comme une relation mathématique où chaque nombre x est associé à son produit par un coefficient fixe 'a'. Cette définition est formalisée par l'expression f(x) = ax, où 'a' est le coefficient de la fonction linéaire.

Définition: Une fonction linéaire de coefficient 'a' représente une situation de proportionnalité où le coefficient de proportionnalité est égal à 'a'.

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une caractéristique fondamentale de ce type de fonction. Dans un repère cartésien, elle prend la forme d'une droite passant par l'origine du repère.

Highlight: La représentation graphique d'une fonction linéaire est toujours une droite passant par l'origine du repère.

Pour représenter graphiquement une fonction linéaire, il suffit de connaître son coefficient 'a' et de tracer la droite passant par l'origine et un autre point calculé, par exemple f(1) = a.

Exemple: Pour la fonction linéaire f(x) = 0,6x, on peut calculer f(3) = 0,6 × 3 = 1,8 et tracer la droite passant par les points (0,0) et (3; 1,8).

L'exploitation de la représentation graphique d'une fonction linéaire permet de déterminer graphiquement l'image d'un nombre ou l'antécédent d'une image donnée. Cette méthode visuelle est particulièrement utile pour une compréhension intuitive des fonctions linéaires.

Vocabulary: L'antécédent est le nombre dont on cherche l'image par la fonction.

Coefficient directeur et équation de droite

Le coefficient 'a' d'une fonction linéaire f(x) = ax joue un rôle crucial dans la caractérisation de la fonction et de sa représentation graphique. Ce coefficient est également appelé coefficient directeur de la droite représentative de la fonction.

Définition: Le coefficient directeur d'une droite est le nombre 'a' tel que y = ax soit une équation de cette droite.

Pour déterminer le coefficient d'une fonction linéaire, il suffit de connaître un point de la droite autre que l'origine. Si on sait que l'image de x par la fonction est y, alors le coefficient a est donné par la formule : a = y/x.

Exemple: Si l'image de 4 par une fonction linéaire est 3, alors le coefficient de cette fonction est a = 3/4 = 0,75.

L'interprétation graphique du coefficient directeur est importante pour comprendre le comportement de la fonction linéaire. Un coefficient positif indique une droite croissante, tandis qu'un coefficient négatif correspond à une droite décroissante.

Highlight: Le coefficient directeur détermine la pente de la droite représentative de la fonction linéaire.

Les fonctions linéaires et pourcentages sont étroitement liés, ce qui rend ces fonctions particulièrement utiles dans de nombreux contextes pratiques. Voici quelques applications importantes :

1. Prendre t% d'un nombre revient à appliquer la fonction linéaire x → (t/100)x.
2. Augmenter un nombre de t% équivaut à appliquer la fonction linéaire x → (1 + t/100)x.
3. Diminuer un nombre de t% correspond à la fonction linéaire x → (1 - t/100)x.

Exemple: Diminuer un nombre de 12% revient à le multiplier par 0,88, ce qui correspond à la fonction linéaire x → 0,88x.

Ces applications des fonctions linéaires aux pourcentages sont particulièrement utiles dans des domaines tels que l'économie, les finances et les statistiques, où les variations en pourcentage sont fréquemment utilisées.