Fonctions composées et formules de base

Les fonctions composées s'écrivent sous la forme v∘u(x) = v(u(x)). C'est comme appliquer deux fonctions à la suite : d'abord u, puis v sur le résultat.

La règle de dérivation des fonctions composées est super importante : (v∘u)'(x) = v'(u(x)) × u'(x). Tu multiplies la dérivée de la fonction extérieure (calculée au point u(x)) par la dérivée de la fonction intérieure.

Pour les fonctions usuelles, retiens ces dérivées de base :

• ax + b → a
• x² → 2x
• x^m → mx^$m-1$
• 1/x → -1/x²
• √x → 1/(2√x)
• e^x → e^x

Astuce clé : Pour les fonctions composées, pense toujours "dérivée extérieure × dérivée intérieure" !

Opérations et dérivée seconde

Les opérations sur les dérivées suivent des règles précises que tu dois maîtriser :

• $u + v$' = u' + v'
• (uv)' = u'v + uv' (formule du produit)
• $1/v$' = -v'/v²
• $u/v$' = $u'v - uv'$/v² (formule du quotient)

Pour les fonctions composées courantes, applique ces formules directement :

• $ax + b$^n → na$ax + b$^$n-1$
• √u → u'/(2√u)
• u^n → nu'u^$n-1$
• e^u → u'e^u

La dérivée seconde f'' correspond à la dérivée de f'. Une fonction est deux fois dérivable quand sa dérivée f' est elle-même dérivable.

Point important : La dérivée seconde te renseigne sur la concavité de ta fonction - information cruciale pour l'étude complète !