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5 janv. 2026
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Mr.Aide
@t.legall42
Les fonctions du second degré, aussi appelées fonctions quadratiques, sont... Affiche plus
Tu vas découvrir comment les différents paramètres influencent la forme d'une parabole ! L'activité principale consiste à tracer trois types de paraboles : f₁(x) = x², f₂(x) = ax² et f₃(x) = a² + q.
Pour bien comprendre, tu utiliseras des curseurs sur ta calculatrice graphique. Tu créeras trois curseurs : "a" , "p" et "q" . Ces paramètres te permettront de voir en temps réel comment la parabole se transforme.
En faisant varier le paramètre "a", tu observeras que la concavité de la courbe change. Si a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut ; si a < 0, elle s'ouvre vers le bas. Plus |a| est grand, plus la parabole est "serrée".
💡 Astuce : La parabole de base f(x) = x² a son sommet à l'origine (0,0). Toutes les autres paraboles peuvent être obtenues par des transformations géométriques de cette courbe de référence !
Maintenant, passons au cas le plus général : f(x) = ax² + bx + c. Cette fonction du second degré a des propriétés très précises que tu dois absolument maîtriser pour tes contrôles.
Le point le plus important à retenir est la formule du sommet : S. L'abscisse du sommet est toujours -b/2a, et c'est là que la fonction atteint soit son minimum (si a > 0), soit son maximum (si a < 0).
La parabole admet un axe de symétrie vertical d'équation x = -b/2a. Cela signifie que si tu plies la courbe le long de cette droite, les deux parties se superposent parfaitement. Les variations dépendent du signe de a : si a > 0, la fonction décroît puis croît ; si a < 0, c'est l'inverse.
💡 Point clé : Retiens bien cette formule -b/2a car elle revient dans tous les exercices sur les fonctions du second degré !
Le discriminant Δ = b² - 4ac est ton meilleur ami pour résoudre les équations du second degré ! Il te dit tout de suite combien de solutions (ou "zéros") possède ta fonction.
Quand Δ > 0, tu as deux solutions distinctes : x₁ = /2a et x₂ = /2a. Ta fonction peut alors se factoriser sous la forme f(x) = a. Si Δ = 0, il n'y a qu'une seule solution x₀ = -b/2a (racine double).
Le signe de f(x) dépend de a et de la position de x par rapport aux racines. Entre les deux racines (quand elles existent), f(x) a le signe opposé de a. À l'extérieur des racines, f(x) a le même signe que a.
💡 Méthode : Pour les exercices, calcule toujours d'abord le discriminant. Cela te donne la "carte d'identité" complète de ta fonction !
Pour trouver les points d'intersection entre une parabole et une droite, tu résous un système d'équations. C'est plus simple qu'il n'y paraît ! Tu égalises les expressions : ax² + bx + c = mx + p.
Cette égalation se réécrit sous la forme ax² + x + = 0. Le discriminant de cette nouvelle équation te dira s'il y a 0, 1 ou 2 points d'intersection. Même principe pour l'intersection de deux paraboles !
Pour deux paraboles, tu obtiens l'équation x² + x + = 0. Les abscisses des points d'intersection sont les solutions de cette équation.
💡 Bon à savoir : Ta calculatrice peut résoudre ces systèmes automatiquement via le menu "Algèbre - Résoudre un système d'équations" !
Ta calculatrice graphique est un excellent allié pour les fonctions du second degré ! Pour obtenir la forme canonique d'un trinôme, utilise la commande "Algèbre - Complétez le carré".
La forme canonique s'écrit f(x) = a² + /4a. Cette écriture fait apparaître directement les coordonnées du sommet et facilite l'étude de la fonction. Par exemple, -x² + 6x + 2 devient 11 - ².
Cette forme canonique est particulièrement utile pour lire graphiquement les propriétés de la parabole : sommet, axe de symétrie, et sens d'ouverture.
💡 Technique : Maîtrise bien la commande "completeSquare" sur ta calculatrice, elle te fera gagner un temps précieux en contrôle !
Les exercices te font explorer différentes familles de paraboles pour bien comprendre l'effet de chaque paramètre. Tu commences par f(x) = ax² où seul le coefficient "a" varie.
Pour la famille f(x) = ax² + c, le paramètre c provoque une translation verticale : la parabole monte ou descend de c unités. Le sommet passe de (0,0) à (0,c), mais l'axe de symétrie reste x = 0.
L'analyse graphique te permet de lire directement les racines, les coordonnées du sommet, l'équation de l'axe de symétrie et le sens de concavité. Ces lecture graphiques doivent ensuite être vérifiées par le calcul.
💡 Méthode : Pour chaque famille, compare toujours les courbes à la parabole de référence f(x) = x². Cela t'aide à identifier rapidement les transformations géométriques !
La famille f(x) = ² illustre parfaitement les translations horizontales. Attention au piège : ² déplace la parabole vers la GAUCHE d'une unité, pas vers la droite !
Pour f(x) = ax² + bx, toutes les paraboles passent par l'origine car f(0) = 0. Tu peux factoriser par x : f(x) = x. Les racines sont donc toujours 0 et -b/a.
L'identification des équations à partir des graphiques demande de la pratique. Observe bien la position du sommet, le sens d'ouverture de la parabole, et les points de passage particuliers comme les intersections avec les axes.
💡 Piège à éviter : ² décale vers la gauche si k > 0, et vers la droite si k < 0. C'est contre-intuitif mais logique mathématiquement !
Cet exercice développe ton sens de l'observation graphique ! Tu dois associer chaque fonction du second degré à sa représentation graphique en analysant ses caractéristiques.
Pour f₁(x) = x² - 3, la parabole est identique à x² mais décalée de 3 unités vers le bas. Pour f₃(x) = -2x² + 5x, le coefficient négatif indique une parabole qui s'ouvre vers le bas.
La fonction f₅(x) = est déjà factorisée ! Ses racines sont directement lisibles : 5/2 et 1. Le sommet se trouve au milieu des racines, à x = (5/2 + 1)/2 = 7/4.
💡 Stratégie : Commence toujours par identifier le sens d'ouverture (signe de a), puis localise le sommet ou les racines pour faire le bon appariement !
Ces exercices te font manipuler concrètement les transformations géométriques des paraboles. À partir d'un graphique donné, tu construis les autres par translation ou réflexion.
Pour passer de f₁(x) = 2x² + 1 à f₂(x) = 2x² - 1, tu descends la parabole de 2 unités. Pour obtenir f₃(x) = -2x² + 1, tu effectues une symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
La construction de f₂(x) = x² à partir de f₁(x) = ² demande de décaler d'une unité vers la droite. Ces exercices développent ta vision géométrique des fonctions du second degré.
💡 Visualisation : Imagine que tu "déplaces" physiquement la courbe sur le graphique. Cela t'aide à mieux comprendre les transformations !
Ce dernier exercice combine calcul et représentation graphique. Tu complètes des tableaux de valeurs pour quatre fonctions du second degré différentes, puis tu traces les courbes point par point.
L'axe de symétrie de chaque parabole t'aide à identifier le minimum de chaque fonction sur l'intervalle donné. Ce minimum correspond toujours à l'ordonnée du sommet quand a > 0.
La forme canonique révèle directement ces informations : f(x) = ² - 1 a son minimum -1 atteint en x = 3. Tu constates que la forme canonique et les résultats graphiques concordent parfaitement.
💡 Synthèse : Cet exercice montre que calcul algébrique, lecture graphique et forme canonique donnent les mêmes résultats par des chemins différents !
Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.
Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
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Google Play
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
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Pour bien comprendre, tu utiliseras des curseurs sur ta calculatrice graphique. Tu créeras trois curseurs : "a" , "p" et "q" . Ces paramètres te permettront de voir en temps réel comment la parabole se transforme.
En faisant varier le paramètre "a", tu observeras que la concavité de la courbe change. Si a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut ; si a < 0, elle s'ouvre vers le bas. Plus |a| est grand, plus la parabole est "serrée".
💡 Astuce : La parabole de base f(x) = x² a son sommet à l'origine (0,0). Toutes les autres paraboles peuvent être obtenues par des transformations géométriques de cette courbe de référence !
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La parabole admet un axe de symétrie vertical d'équation x = -b/2a. Cela signifie que si tu plies la courbe le long de cette droite, les deux parties se superposent parfaitement. Les variations dépendent du signe de a : si a > 0, la fonction décroît puis croît ; si a < 0, c'est l'inverse.
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Le signe de f(x) dépend de a et de la position de x par rapport aux racines. Entre les deux racines (quand elles existent), f(x) a le signe opposé de a. À l'extérieur des racines, f(x) a le même signe que a.
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La forme canonique s'écrit f(x) = a² + /4a. Cette écriture fait apparaître directement les coordonnées du sommet et facilite l'étude de la fonction. Par exemple, -x² + 6x + 2 devient 11 - ².
Cette forme canonique est particulièrement utile pour lire graphiquement les propriétés de la parabole : sommet, axe de symétrie, et sens d'ouverture.
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L'analyse graphique te permet de lire directement les racines, les coordonnées du sommet, l'équation de l'axe de symétrie et le sens de concavité. Ces lecture graphiques doivent ensuite être vérifiées par le calcul.
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L'identification des équations à partir des graphiques demande de la pratique. Observe bien la position du sommet, le sens d'ouverture de la parabole, et les points de passage particuliers comme les intersections avec les axes.
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Pour f₁(x) = x² - 3, la parabole est identique à x² mais décalée de 3 unités vers le bas. Pour f₃(x) = -2x² + 5x, le coefficient négatif indique une parabole qui s'ouvre vers le bas.
La fonction f₅(x) = est déjà factorisée ! Ses racines sont directement lisibles : 5/2 et 1. Le sommet se trouve au milieu des racines, à x = (5/2 + 1)/2 = 7/4.
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La construction de f₂(x) = x² à partir de f₁(x) = ² demande de décaler d'une unité vers la droite. Ces exercices développent ta vision géométrique des fonctions du second degré.
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L'axe de symétrie de chaque parabole t'aide à identifier le minimum de chaque fonction sur l'intervalle donné. Ce minimum correspond toujours à l'ordonnée du sommet quand a > 0.
La forme canonique révèle directement ces informations : f(x) = ² - 1 a son minimum -1 atteint en x = 3. Tu constates que la forme canonique et les résultats graphiques concordent parfaitement.
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utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS
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