Limites et Continuité des Fonctions - Fiche de Révision Maths Terminale

Limites de référence et asymptotes

Tu vas voir, les limites de référence sont comme des formules magiques qu'il faut absolument retenir par cœur. Pour la fonction $\frac{1}{x}$, elle tend vers 0 quand $x$ part vers l'infini, mais explose vers $+\infty$ ou $-\infty$ quand $x$ s'approche de 0.

La fonction exponentielle $e^x$ a un comportement particulier : elle explose vers $+\infty$ quand $x$ augmente, mais s'approche de 0 quand $x$ devient très négatif. C'est exactement l'inverse de ce qu'on pourrait penser au début !

Les asymptotes te donnent la "direction" que prend ta courbe. Si $f(x)$ tend vers l'infini en un point $a$, alors $x = a$ est une asymptote verticale. Si $f(x)$ tend vers une valeur $b$ à l'infini, alors $y = b$ est une asymptote horizontale.

Attention ! Les formes indéterminées ($\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $+\infty - \infty$) nécessitent des techniques spéciales pour être résolues.

Fonction exponentielle et croissances comparées

Voici le truc génial avec $e^x$ : elle grandit toujours plus vite que n'importe quelle fonction puissance ! Même $x^{1000}$ finira par être dépassé par $e^x$ quand $x$ devient assez grand.

La dérivée de $e^x$ est $e^x$ elle-même - c'est unique et super pratique pour les calculs. Ses propriétés de base sont simples : $e^0 = 1$, $e^x > 0$ toujours, et $e^{x+y} = e^x \cdot e^y$.

Pour résoudre les équations exponentielles, retiens que $e^x = e^y$ si et seulement si $x = y$. Cette fonction préserve l'ordre : si $x < y$, alors $e^x < e^y$.

Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires te garantit qu'une équation $f(x) = k$ a une solution unique si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle, et que $k$ est entre les valeurs aux bornes.

Conseil pratique : Pour les croissances comparées, retiens que l'exponentielle "gagne" toujours contre les polynômes à l'infini !