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Expressions et Formes Quadratiques

Fonction quadratique

Maths2 428Mis à jour 17 sept. 20263 pages

Maîtriser les Fonctions Polynômes du Second Degré

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Enola@nonola_4528
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Les fonctions polynômes du second degré, qu'on appelle aussi trinômes, sont des expressions du type ax² + bx + c. Tu vas découvrir comment les transformer, trouver leurs racines et les factoriser – des compétences essentielles pour réussir en première !
Fonctions polynômes du second degré – page 1

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Forme canonique et discriminant

Tu connais sûrement la forme développée fxx = ax² + bx + c d'un trinôme. Mais il existe aussi la forme canonique fxx = ax−αx - α² + β qui est super pratique !

Pour passer de l'une à l'autre, tu utilises les formules : α = -b/2a et β = -b2−4acb² - 4ac/4a. Le truc important à retenir, c'est que b² - 4ac s'appelle le discriminant (noté Δ ou delta).

Ce discriminant va te servir partout dans ce chapitre ! Il détermine combien de racines a ton trinôme et comment tu peux le factoriser.

💡 Astuce : Calcule toujours le discriminant en premier – c'est lui qui te dit tout ce que tu peux faire avec ton trinôme !

Fonctions polynômes du second degré – page 2

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Racines d'un trinôme

Une racine d'un trinôme, c'est une valeur de x qui rend fxx = 0. En gros, c'est là où ta courbe coupe l'axe des abscisses !

Le nombre de racines dépend entièrement de ton discriminant Δ. Si Δ > 0, tu as deux racines distinctes qu'on calcule avec x₁ = −b−√Δ-b - √Δ/2a et x₂ = −b+√Δ-b + √Δ/2a.

Quand Δ = 0, il n'y a qu'une seule racine (on dit "racine double") : x₀ = -b/2a. Et si Δ < 0, pas de chance, ton trinôme n'a aucune racine réelle !

⚡ Important : Mémorise bien ces trois cas, ils reviennent dans tous les exercices de trinômes !

Fonctions polynômes du second degré – page 3

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Signes et factorisation

Pour étudier le signe d'un trinôme, tu regardes d'abord le signe de "a" puis le nombre de racines. Si a > 0, ta parabole "sourit" (elle va vers le haut), si a < 0, elle "fait la tête" (elle va vers le bas).

Entre les racines (quand il y en a deux), le trinôme change de signe. En dehors des racines, il garde le signe opposé à "a" si Δ > 0, ou le même signe que "a" si Δ ≤ 0.

Pour la factorisation, c'est logique : avec deux racines (Δ > 0), tu écris fxx = ax - x₁$$x - x₂. Avec une racine Δ=0Δ = 0, c'est fxx = ax−x0x - x₀². Et sans racine (Δ < 0), impossible de factoriser !

🎯 Méthode : Discriminant → racines → signe → factorisation. C'est toujours dans cet ordre !

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