Présentation du sujet

Tu vas apprendre à maîtriser la forme canonique des fonctions quadratiques. Cette technique te permet de transformer n'importe quelle fonction du type f$x$ = ax² + bx + c en quelque chose de beaucoup plus lisible !

La forme canonique s'écrit f$x$ = a$x - h$² + k, où (h, k) sont les coordonnées du sommet de la parabole. C'est génial parce que tu peux voir d'un coup d'œil où se trouve le point le plus haut ou le plus bas de ta courbe.

💡 Astuce : Avec la forme canonique, plus besoin de chercher le sommet avec des calculs compliqués - il est directement visible dans la formule !

Dans cet examen, tu vas t'entraîner sur des exercices concrets qui montrent pourquoi cette méthode est si utile en maths.

Exercice 1 - Fonction quadratique de base

Voici ton premier défi : transformer f$x$ = -2x² + 12x - 10 en forme canonique. Tu vas utiliser la méthode de complétion du carré, qui est comme un puzzle mathématique !

D'abord, tu dois factoriser le coefficient de x² $ici -2$ pour isoler les termes en x² et x. Ensuite, tu complètes le carré à l'intérieur des parenthèses en ajoutant et soustrayant le bon nombre.

Une fois ta forme canonique trouvée, tu pourras identifier directement les coordonnées du sommet. Le signe du coefficient a te dira si ta parabole s'ouvre vers le haut (a > 0) ou vers le bas (a < 0).

💡 Rappel : Si a est négatif, le sommet est un maximum ; si a est positif, c'est un minimum !

Exercice 2 - Application concrète

Tu vas maintenant appliquer tes connaissances à un problème d'entreprise ! La fonction de coût de production C$x$ = 0,5x² - 10x + 200 représente le coût en euros pour x centaines d'articles.

En transformant cette fonction en forme canonique, tu pourras déterminer combien d'articles l'entreprise doit produire pour minimiser ses coûts. C'est exactement le genre de problème que les entreprises résolvent tous les jours !

Le sommet de la parabole t'indiquera le point de coût minimal, car avec a = 0,5 (positif), la parabole s'ouvre vers le haut. Tu calculeras ensuite le coût minimal en substituant la valeur optimale dans ta fonction.

💡 Astuce pratique : Dans les problèmes de coût, cherche toujours le minimum - c'est là que l'entreprise économise le plus !

Exercice 3 - Construction inverse

Maintenant, on inverse le processus ! Tu as le sommet S$3, -4$ et un point A(1, 0) par lequel passe la parabole. Ton mission : retrouver la fonction complète.

Tu commences par écrire la forme canonique avec les coordonnées du sommet : g$x$ = a$x - 3$² - 4. Ensuite, tu utilises le point A pour calculer la valeur de a en résolvant 0 = a$1 - 3$² - 4.

Tu décris aussi les transformations géométriques qui permettent de passer de y = x² à ta parabole. Enfin, tu trouves les racines en résolvant g$x$ = 0.

💡 Méthode : Quand tu as le sommet, commence toujours par écrire la forme canonique avec a inconnu, puis utilise un autre point pour le calculer !

Solution 1 - Étapes détaillées

La transformation de f$x$ = -2x² + 12x - 10 en forme canonique suit une méthode précise. Tu factorises d'abord le coefficient -2 : f$x$ = -2$x² - 6x$ - 10.

Pour compléter le carré dans x² - 6x, tu ajoutes et soustrais $6/2$² = 9, ce qui donne $x - 3$² - 9. En substituant, tu obtiens f$x$ = -2$(x - 3)² - 9$ - 10.

Après distribution et simplification : f$x$ = -2$x - 3$² + 8. Les coordonnées du sommet sont donc (3, 8), et comme a = -2 < 0, c'est un maximum.

💡 Vérification : Tu peux toujours vérifier en développant ta forme canonique pour retrouver la forme initiale !

Tableau de variation

Avec a = -2 (négatif), ta parabole s'ouvre vers le bas et admet un maximum au sommet (3, 8). Cela détermine complètement le comportement de ta fonction.

Pour x < 3, la fonction est croissante (elle monte vers le sommet). Pour x > 3, elle est décroissante (elle descend après le sommet).

Le tableau de variation se résume ainsi : croissante sur ]-∞, 3[, maximum de 8 en x = 3, puis décroissante sur ]3, +∞[.

💡 Mémo : Le signe de a détermine tout - négatif = parabole vers le bas = maximum au sommet !

Solution 2 - Problème d'optimisation

Pour C$x$ = 0,5x² - 10x + 200, tu calcules h = -b/(2a) = -$-10$/(2×0,5) = 10. Le sommet est à x = 10, soit 10 centaines d'articles (1000 articles).

La forme canonique devient C$x$ = 0,5$x - 10$² + 150 après calcul de k = C(10). Comme a = 0,5 > 0, la parabole s'ouvre vers le haut et le sommet est un minimum.

Le coût minimal est donc de 150 euros, atteint quand l'entreprise produit exactement 1000 articles. C'est le point d'équilibre parfait !

💡 Application : Cette méthode fonctionne pour tous les problèmes d'optimisation en économie !

Solution 3 - Construction et transformations

Avec le sommet S$3, -4$, tu écris g$x$ = a$x - 3$² - 4. Le point A(1, 0) te donne : 0 = a$1 - 3$² - 4, donc 0 = 4a - 4, et a = 1.

La fonction finale est g$x$ = $x - 3$² - 4. Pour passer de y = x² à cette parabole, tu effectues deux transformations : translation de 3 unités vers la droite et 4 unités vers le bas.

Ces transformations géométriques sont visibles directement dans la forme canonique : $x - 3$ indique le décalage horizontal, et -4 le décalage vertical.

💡 Lecture rapide : Dans a$x - h$² + k, h est le décalage horizontal et k le décalage vertical !

Calcul des racines

Pour trouver les racines de g$x$ = $x - 3$² - 4, tu résous l'équation g$x$ = 0. Cela donne $x - 3$² - 4 = 0, donc $x - 3$² = 4.

En prenant la racine carrée des deux côtés : x - 3 = ±2. Tu obtiens deux solutions : x - 3 = 2 $donc x = 5$ et x - 3 = -2 $donc x = 1$.

Les racines sont x₁ = 1 et x₂ = 5. Tu remarques que le point A(1, 0) correspond effectivement à l'une des racines !

💡 Vérification : Remplace tes valeurs dans la fonction originale pour vérifier que tu obtiens bien zéro !

Résultat final

Tu as maintenant maîtrisé tous les aspects de la forme canonique : transformation, identification du sommet, calcul des racines et applications concrètes.

Les racines finales de g$x$ sont x₁ = 1 et x₂ = 5, ce qui confirme que ta parabole coupe l'axe des x en ces deux points. Le sommet $3, -4$ se situe exactement au milieu, à x = $1 + 5$/2 = 3.

Cette cohérence entre toutes tes réponses prouve que tu maîtrises parfaitement la méthode !

💡 Bravo ! : Tu peux maintenant résoudre n'importe quel problème de fonction quadratique avec confiance !