Formules de dérivation essentielles

Les opérations sur les dérivées suivent des règles super logiques que tu vas vite retenir. Pour additionner ou soustraire, c'est simple : $(u+v)' = u' + v'$ et $(u-v)' = u' - v'$.

Le produit de fonctions demande la formule $(u \times v)' = u'v + v'u$, tandis que le quotient utilise $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - v'u}{v^2}$. N'oublie jamais que multiplier par une constante donne $(ku)' = ku'$.

Pour les fonctions de base, retiens que $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, et $\left(\frac{1}{x}\right)' = \frac{-1}{x^2}$. Les fonctions trigonométriques sont faciles : $(sin x)' = cos x$ et $(cos x)' = -sin x$.

Astuce pratique : Avec les fonctions composées u, multiplie toujours par u' ! Par exemple : $(u^2)' = 2u \cdot u'$

Fonctions avancées et exemples concrets

Les fonctions logarithmique et exponentielle ont des dérivées particulières : $(ln x)' = \frac{1}{x}$ et $(e^x)' = e^x$. Pour la tangente, utilise $(tan x)' = 1 + tan^2 x = \frac{1}{cos^2 x}$.

Les exemples pratiques montrent comment appliquer ces formules. Pour $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + x - 7$, tu obtiens $f'(x) = 12x^2 - 6x + 1$ en dérivant terme par terme.

Avec les quotients, comme $f(x) = \frac{4x - 1}{7x + 2}$, identifie u et v, calcule leurs dérivées, puis applique la formule. Tu trouveras $f'(x) = \frac{15}{(7x + 2)^2}$.

Pour les fonctions composées comme $f(x) = sin(x^2)$, n'oublie pas le facteur u' : $f'(x) = cos(x^2) \times 2x$.

Point clé : Avec les puissances composées comme $(2x-5)^4$, utilise la formule $(u^n)' = nu^{n-1} \cdot u'$

Primitives : retrouver la fonction d'origine

Les primitives te permettent de remonter d'une dérivée vers sa fonction d'origine. C'est l'opération inverse de la dérivation ! Pour une constante k, la primitive est $kx + C$, et pour $x^n$, c'est $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Les fonctions composées avec u suivent le même principe, mais attention au facteur u'. Par exemple, la primitive de $\frac{u'}{u}$ est $ln|u| + C$, et celle de $u'e^u$ est $e^u + C$.

Pour les fonctions trigonométriques, retiens l'astuce du cercle : $cos x$ donne $sin x + C$, et $sin x$ donne $-cos x + C$. Les signes alternent comme sur le cercle trigonométrique !

La fonction exponentielle $e^x$ est particulière car elle est sa propre dérivée et sa propre primitive (à une constante près).

Mémo pratique : Place sin, cos, -sin, -cos sur un cercle pour retenir les signes des primitives trigonométriques !