Généralités sur les Suites Numériques

Il existe plusieurs façons de définir une suite numérique. Une suite explicite est exprimée directement en fonction de n, ce qui permet de calculer chaque terme indépendamment des autres. Par exemple, $U_n = 2n + 6$ avec $n \in \mathbb{N}$.

À l'inverse, une suite par récurrence définit chaque terme en fonction du précédent. Dans ce cas, on donne toujours le premier terme pour pouvoir calculer les suivants. Par exemple : $U_{n+1} = 3U_n + 2$. D'autres types existent également, comme les suites définies par un algorithme.

Pour étudier le sens de variation d'une suite, plusieurs méthodes s'offrent à nous :

• Si $U_n \leq U_{n+1}$, la suite est croissante
• Si $U_n \geq U_{n+1}$, la suite est décroissante
• Si $U_n = U_{n+1}$, la suite est constante

💡 Astuce pratique : Pour déterminer le sens de variation, trois approches principales sont possibles : étudier le signe de $U_{n+1} - U_n$, comparer $\frac{U_{n+1}}{U_n}$ à 1, ou utiliser le tableau de variation de $f(n)$ si $U_n = f(n)$. La dernière méthode est particulièrement efficace pour les polynômes du second degré.

Une suite est dite monotone lorsqu'elle conserve strictement le même sens de variation. N'oubliez pas que pour les polynômes du second degré, il faudra calculer les valeurs $\alpha$ et $\beta$ pour déterminer correctement le sens de variation.