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Relations de Position entre Droites

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Maths295Mis à jour 4 oct. 20262 pages

Résumé : Géométrie dans l’Espace Partie 1

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Khady @khady.s
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La géométrie dans l'espace peut sembler compliquée, mais c'est en fait une extension logique de ce que tu connais déjà en 2D. Tu vas découvrir comment manipuler les vecteurs en 3D et comprendre les relations entre points, droites et plans.
géométrie dans l’espace 1/2 – page 1

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Vecteurs et colinéarité dans l'espace

Imagine que tu veux décrire la position d'un drone dans le ciel - tu as besoin de trois coordonnées ! Un vecteur dans l'espace s'écrit donc AB→=(xB−xAyB−yAzB−zA)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}. C'est exactement comme en 2D, mais avec une dimension en plus.

La colinéarité reste le même principe : deux vecteurs sont colinéaires quand l'un est un multiple de l'autre (u⃗=kv⃗\vec{u} = k \vec{v}). Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires, alors A, B et C sont alignés sur une même droite.

La représentation paramétrique d'une droite te donne sa "recette" complète. Pour une droite passant par A et de vecteur directeur u⃗\vec{u}, tu écris : {x=xA+aty=yA+btz=zA+ct\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases}.

Astuce pratique : Pour vérifier qu'un point appartient à une droite, remplace x, y, z par ses coordonnées et vérifie que tu obtiens la même valeur de t dans les trois équations.

géométrie dans l’espace 1/2 – page 2

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Coplanarité et position des droites

Quatre points sont coplanaires s'ils appartiennent au même plan - imagine une feuille de papier dans l'espace qui les contient tous. La condition mathématique est que AB→\overrightarrow{AB} puisse s'écrire comme combinaison de BC→\overrightarrow{BC} et BD→\overrightarrow{BD}.

Trois points non alignés définissent toujours un plan unique. C'est comme poser une table sur trois pieds - elle sera toujours stable ! Par contre, avec quatre points, ce n'est pas garanti qu'ils soient dans le même plan.

Dans l'espace, deux droites peuvent avoir trois relations : être parallèles, être sécantes (se couper), ou être gauches (ni parallèles ni sécantes). Les droites gauches, ça n'existe pas en 2D - c'est une spécificité de l'espace !

À retenir : Dans un tétraèdre ABCD, les quatre points ne sont jamais coplanaires - c'est la définition même du tétraèdre !

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