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7 déc. 2025

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Géométrie dans l'espace - Bases et Exemples

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@lily_cqyu

La géométrie dans l'espace peut sembler compliquée, mais c'est juste... Affiche plus

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Geométrie Dans I espace Vecteur u = AB #0²: une direct" (droite (AB)) un sens (de A vers B) Lene norme/distance (1101) ou AB / +AB=CD si A B

Les vecteurs dans l'espace : les bases

Les vecteurs en 3D fonctionnent exactement comme en 2D, mais avec une dimension supplémentaire. Un vecteur u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} possède toujours une direction, un sens et une norme (sa "longueur").

La relation de Chasles reste ton meilleur ami : AD→=AB→+BC→+CD→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}. Tu peux "découper" n'importe quel vecteur en plusieurs étapes pour simplifier tes calculs.

Deux vecteurs sont colinéaires quand l'un est un multiple de l'autre : v⃗=k×u⃗\vec{v} = k \times \vec{u}. Concrètement, ça veut dire que trois points A, B, C sont alignés si AC→=k×AB→\overrightarrow{AC} = k \times \overrightarrow{AB}, et que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

💡 Astuce : Pour vérifier que deux vecteurs sont colinéaires avec des coordonnées, vérifie que xABxCD=yAByCD=zABzCD\frac{x_{AB}}{x_{CD}} = \frac{y_{AB}}{y_{CD}} = \frac{z_{AB}}{z_{CD}}

Geométrie Dans I espace Vecteur u = AB #0²: une direct" (droite (AB)) un sens (de A vers B) Lene norme/distance (1101) ou AB / +AB=CD si A B

Vecteurs coplanaires et coordonnées

Trois vecteurs sont coplanaires quand ils appartiennent au même plan. C'est crucial pour comprendre l'espace ! Si tu peux écrire l'un des vecteurs comme combinaison des deux autres $\overrightarrow{w} = a\overrightarrow{u} + b\overrightarrow{v}$, alors ils sont coplanaires.

Avec les coordonnées (x,y,z)(x, y, z), tout devient plus simple. Pour le milieu I du segment ABAB, utilise : I(xA+xB2,yA+yB2,zA+zB2)I(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}). Et le vecteur AB→\overrightarrow{AB} a pour coordonnées (xB−xA,yB−yA,zB−zA)(x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A).

Pour vérifier si quatre points A, B, C, D sont coplanaires, tu cherches si AD→=αAB→+βAC→\overrightarrow{AD} = \alpha\overrightarrow{AB} + \beta\overrightarrow{AC}. Ça te donne un système de trois équations à résoudre !

💡 Conseil : Les vecteurs colinéaires sont automatiquement coplanaires - ils forment un cas particulier plus simple.

Geométrie Dans I espace Vecteur u = AB #0²: une direct" (droite (AB)) un sens (de A vers B) Lene norme/distance (1101) ou AB / +AB=CD si A B

Équations paramétriques des droites

Une droite dans l'espace se définit par un point A et un vecteur directeur u→(a,b,c)\overrightarrow{u}(a,b,c). Son équation paramétrique est : {x=xA+at y=yA+bt z=zA+ct\begin{cases} x = x_A + at \ y = y_A + bt \ z = z_A + ct \end{cases} où tt peut prendre n'importe quelle valeur réelle.

Pour trouver l'intersection de deux droites, tu poses leurs équations égales et tu résous le système. Si tu trouves une solution unique pour les paramètres, les droites sont sécantes.

Dans l'exemple, les droites (d)(d) et (AB)(AB) se coupent au point I(11,12,−14)I(11, 12, -14) car on trouve t=52t = \frac{5}{2} et s=−4s = -4 qui satisfont les trois équations simultanément.

💡 Méthode : Commence toujours par vérifier si les vecteurs directeurs sont colinéaires - si oui, les droites sont parallèles ou confondues !



Si on te demande...

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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Géométrie dans l'espace - Bases et Exemples

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La géométrie dans l'espace peut sembler compliquée, mais c'est juste une extension de ce que tu connais déjà en 2D ! Tu vas découvrir comment manipuler les vecteurs en 3D et comprendre les relations entre points, droites et plans.

Geométrie Dans I espace Vecteur u = AB #0²: une direct" (droite (AB)) un sens (de A vers B) Lene norme/distance (1101) ou AB / +AB=CD si A B

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Les vecteurs dans l'espace : les bases

Les vecteurs en 3D fonctionnent exactement comme en 2D, mais avec une dimension supplémentaire. Un vecteur u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} possède toujours une direction, un sens et une norme (sa "longueur").

La relation de Chasles reste ton meilleur ami : AD→=AB→+BC→+CD→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}. Tu peux "découper" n'importe quel vecteur en plusieurs étapes pour simplifier tes calculs.

Deux vecteurs sont colinéaires quand l'un est un multiple de l'autre : v⃗=k×u⃗\vec{v} = k \times \vec{u}. Concrètement, ça veut dire que trois points A, B, C sont alignés si AC→=k×AB→\overrightarrow{AC} = k \times \overrightarrow{AB}, et que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

💡 Astuce : Pour vérifier que deux vecteurs sont colinéaires avec des coordonnées, vérifie que xABxCD=yAByCD=zABzCD\frac{x_{AB}}{x_{CD}} = \frac{y_{AB}}{y_{CD}} = \frac{z_{AB}}{z_{CD}}

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Vecteurs coplanaires et coordonnées

Trois vecteurs sont coplanaires quand ils appartiennent au même plan. C'est crucial pour comprendre l'espace ! Si tu peux écrire l'un des vecteurs comme combinaison des deux autres $\overrightarrow{w} = a\overrightarrow{u} + b\overrightarrow{v}$, alors ils sont coplanaires.

Avec les coordonnées (x,y,z)(x, y, z), tout devient plus simple. Pour le milieu I du segment ABAB, utilise : I(xA+xB2,yA+yB2,zA+zB2)I(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}). Et le vecteur AB→\overrightarrow{AB} a pour coordonnées (xB−xA,yB−yA,zB−zA)(x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A).

Pour vérifier si quatre points A, B, C, D sont coplanaires, tu cherches si AD→=αAB→+βAC→\overrightarrow{AD} = \alpha\overrightarrow{AB} + \beta\overrightarrow{AC}. Ça te donne un système de trois équations à résoudre !

💡 Conseil : Les vecteurs colinéaires sont automatiquement coplanaires - ils forment un cas particulier plus simple.

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Équations paramétriques des droites

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Dans l'exemple, les droites (d)(d) et (AB)(AB) se coupent au point I(11,12,−14)I(11, 12, -14) car on trouve t=52t = \frac{5}{2} et s=−4s = -4 qui satisfont les trois équations simultanément.

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Thomas R

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Leny

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Khady

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Claire

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Raoul

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Ella

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