Les bases des vecteurs dans l'espace

Tu vas voir, les vecteurs colinéaires c'est comme deux flèches qui pointent dans la même direction ou dans des directions opposées. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires quand il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{u} = k \times \vec{v}$. Cette propriété est géniale pour prouver que des droites sont parallèles ou que des points sont alignés !

La relation de Chasles est ton meilleur ami pour "voyager" entre les points. Si tu as trois points A, B et C, alors $\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$. Imagine que tu fasses un détour : pour aller de A à B, tu peux passer par C.

Les combinaisons linéaires te permettent de créer de nouveaux vecteurs à partir d'autres. Un vecteur de la forme $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$ combine trois vecteurs avec des coefficients. Les vecteurs coplanaires sont ceux dont les représentants ont leurs extrémités dans un même plan - ils "restent à plat" ensemble.

💡 Astuce : Pour visualiser la colinéarité, pense à des voitures sur une autoroite - elles vont toutes dans la même direction !

Positions relatives et coordonnées

Les positions relatives décrivent comment droites et plans se comportent entre eux. Deux droites peuvent être parallèles (jamais de rencontre), sécantes (un point d'intersection) ou gauches (elles ne se croisent pas mais ne sont pas parallèles). C'est pareil pour les plans : ils peuvent être parallèles, sécants ou confondus.

Quand une droite rencontre un plan, trois cas sont possibles : elle le coupe en un point (sécante), elle lui est parallèle, ou elle est carrément contenue dans le plan.

Dans un repère de coordonnées, tout devient plus simple à calculer. Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_B - x_A\\y_B - y_A\\z_B - z_A \end{pmatrix}$. Le milieu du segment [AB] se trouve aux coordonnées moyennes de A et B.

La représentation paramétrique d'une droite utilise un paramètre $t$ qui varie. Exemple : $\begin{cases} x = 5 - t\\y = 1 + 3t\\z = 1 + t \end{cases}$ te donne tous les points de la droite selon la valeur de $t$.

💡 Rappel : Dans une représentation paramétrique, le vecteur directeur se lit directement dans les coefficients de $t$ !