Introduction à la démonstration par récurrence: concepts clés

Clémentine 🪷

28/11/2025

Maths

La démonstration par récurrence - Bases

Matières

Maths

182

•

28 nov. 2025

•

4 pages

Introduction à la démonstration par récurrence: concepts clés

Clémentine 🪷

@clem_pli

Tu connais déjà les bases des suites et des fonctions,... Affiche plus

1 / 4

MATHS terminale
Demonstration arrence
рая
INITIALISATION =
R = 1
Pn: 1+ 2+ 3+
n (n+1)"
+n =
2
1
1 × (1+1)
=
2
→ PA est vraie
HEREDITE
Suppos

Les bases de la récurrence avec les sommes

La récurrence fonctionne comme un domino géant : si tu prouves que le premier tombe ET que chaque domino fait tomber le suivant, alors tous tombent ! Ici, on prouve que la formule $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$ marche pour tous les entiers.

L'initialisation vérifie que ta formule est vraie pour $n = 1$ . Tu calcules : $1 = \frac{1 \times 2}{2} = 1$ ✓ C'est bon, le premier domino tombe !

L'hérédité suppose que la formule marche pour un certain $n$ , puis prouve qu'elle marche aussi pour $n+1$ . Tu ajoutes $(n+1)$ aux deux côtés et tu manipules algébriquement pour retrouver la formule attendue.

💡 Astuce : En récurrence, tu as le droit d'utiliser l'hypothèse ! C'est même le principe.

Récurrence avec les sommes de carrés

Même principe, nouvelle formule ! Cette fois on s'attaque à $1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . Les calculs deviennent un peu plus costauds mais la méthode reste identique.

L'initialisation pour $n = 1$ : $1^2 = 1$ et $\frac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1$ ✓ Nickel !

L'hérédité demande plus de boulot algébrique. Tu ajoutes $(n+1)^2$ à ta somme, puis tu factorises comme un chef. Ici, on tombe sur un trinôme du second degré $2x^2 + 7x + 6$ qu'il faut factoriser pour simplifier.

Le discriminant $\Delta = 1$ te donne les racines $x_1 = -\frac{3}{2}$ et $x_2 = -2$ . Après factorisation, tu retrouves bien la formule pour $n+1$ !

💡 Astuce : N'hésite pas à poser des calculs intermédiaires pour éviter les erreurs.

Application aux dérivées successives

Changement de décor ! On passe aux dérivées successives de la fonction $f(x) = \frac{1}{x-2}$ . L'idée est de calculer plusieurs dérivées pour deviner la formule générale.

Tu utilises la formule de dérivation des quotients : $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ . Pour $f(x) = \frac{1}{x-2}$ , tu as $u = 1$ et $v = x-2$ .

Calcul après calcul, tu obtiens :

$f'(x) = \frac{-1}{(x-2)^2}$
$f''(x) = \frac{2}{(x-2)^3}$
$f^{(3)}(x) = \frac{-6}{(x-2)^4}$
$f^{(4)}(x) = \frac{24}{(x-2)^5}$

Tu commences à voir un pattern ? Les coefficients $1, 2, 6, 24$ ressemblent étrangement aux factorielles !

💡 Astuce : Quand tu vois des suites comme 1, 2, 6, 24, pense factorielle !

Démonstration par récurrence de la formule générale

Eurêka ! Tu as trouvé la conjecture : $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n \times n!}{(x-2)^{n+1}}$ . Les factorielles $n!$ expliquent les coefficients, et $(-1)^n$ gère l'alternance des signes.

L'initialisation vérifie pour $n = 1$ : $f^{(1)}(x) = \frac{(-1)^1 \times 1!}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2}$ ✓

L'hérédité utilise la règle de dérivation des puissances. Tu supposes la formule vraie pour $n$ , puis tu dérives pour prouver qu'elle reste vraie pour $n+1$ . Les règles des puissances $(-1)^n \times (-1) = (-1)^{n+1}$ et $n! \times (n+1) = (n+1)!$ font le reste du travail.

Et voilà ! Tu as prouvé une formule générale valable pour toutes les dérivées successives de ta fonction.

💡 Astuce : Les factorielles apparaissent souvent dans les dérivées successives, retiens cette astuce !

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

Stefan S

utilisateur iOS

Samantha Klich

utilisatrice Android

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

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Tu connais déjà les bases des suites et des fonctions, maintenant il est temps de maîtriser un outil super puissant : la démonstration par récurrence. C'est LA technique qui va te permettre de prouver des formules mathématiques de façon... Affiche plus

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Tu utilises la formule de dérivation des quotients : $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ . Pour $f(x) = \frac{1}{x-2}$ , tu as $u = 1$ et $v = x-2$ .

Calcul après calcul, tu obtiens :

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$f^{(3)}(x) = \frac{-6}{(x-2)^4}$
$f^{(4)}(x) = \frac{24}{(x-2)^5}$

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