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Mathématiques

Règles de Base de la Dérivation

Règles de différentiation

Maths3 006Mis à jour 29 sept. 20263 pages

Comprendre la Dérivation : Fiche de Révision Terminale

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s_w_e - Emma@study_w_emma
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Tu vas maîtriser la dérivation, l'un des outils les plus puissants des maths ! On va voir comment calculer les dérivées, comprendre la continuité et découvrir la convexité des fonctions.
La Dérivation – page 1

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Fonction dérivée et dérivées usuelles

Imagine que tu veux connaître la vitesse instantanée d'une voiture à un moment précis. C'est exactement ce que fait le nombre dérivé ! Il mesure le taux de variation d'une fonction en un point donné.

Le nombre dérivé f'aa se calcule avec cette limite : lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. Si cette limite existe pour tous les points d'un intervalle, alors la fonction est dérivable sur cet intervalle.

Pour les fonctions usuelles, retiens ces formules clés : une constante donne 0, xnx^n devient nxn−1nx^{n-1}, x\sqrt{x} devient 12x\frac{1}{2\sqrt{x}}, et exe^x reste exe^x.

Les règles d'opération sont tes meilleures amies : (u+v)′=u′+v′(u+v)' = u' + v', (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv', et (uv)′=u′v−uv′v2(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

💡 Astuce : La règle du produit (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv' est souvent oubliée aux contrôles, alors entraîne-toi bien !

La Dérivation – page 2

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Fonctions composées et continuité

Les fonctions composées te permettent de dériver des expressions complexes comme e2xe^{2x} ou x2+1\sqrt{x^2+1}. La règle magique : (v∘u)′=u′×v′∘u(v \circ u)' = u' \times v' \circ u.

Concrètement, pour (eu)′=u′×eu(e^u)' = u' \times e^u ou (u)′=u′2u(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}. C'est comme déballer une poupée russe !

Une fonction continue peut se tracer sans lever le crayon. Toutes les fonctions que tu étudies au lycée sont continues sur leur domaine de définition.

Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) te garantit qu'une fonction continue qui passe d'une valeur à une autre prend forcément toutes les valeurs intermédiaires. Super utile pour prouver qu'une équation a une solution !

💡 Astuce : Si une fonction est dérivable, elle est automatiquement continue, mais l'inverse n'est pas vrai !

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Convexité des fonctions

La convexité te dit si une courbe "sourit" (convexe) ou "fait la tête" (concave). Une fonction convexe a sa courbe en dessous de ses tangentes, une fonction concave a sa courbe au-dessus.

Pense aux exemples classiques : x2x^2 est convexe (forme de U), x\sqrt{x} est concave, et x3x^3 change de convexité au point d'origine.

Pour déterminer la convexité, tu as deux méthodes : soit tu regardes si f' est croissante (alors f est convexe), soit tu calcules la dérivée seconde f'' et tu vérifies son signe.

Un point d'inflexion se produit quand la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire quand f'' s'annule en changeant de signe. C'est le moment où la fonction passe de convexe à concave ou inversement !

💡 Astuce : f convexe ⟺ f' croissante ⟺ f'' ≥ 0. Ces trois conditions sont équivalentes !

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