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Maths318Mis à jour 1 oct. 20264 pages

Introduction à la Géométrie Analytique

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Sacha Coquelle@sachacql
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La géométrie analytique, c'est l'art de faire de la géométrie avec des coordonnées ! Tu vas découvrir comment calculer des distances, trouver des milieux, et déterminer si des droites sont parallèles, tout ça grâce aux coordonnées dans un repère.
La géométrie analytique – page 1

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Les bases de la géométrie analytique

Tu te demandes peut-être pourquoi mélanger géométrie et algèbre ? En fait, c'est génial car ça permet de résoudre des problèmes géométriques avec des calculs précis !

Un repère (O, I, J) se compose de trois points non alignés. O est ton point de départ (l'origine), la droite (OI) forme l'axe des x, et (OJ) l'axe des y. Quand ces axes sont perpendiculaires, ton repère est orthogonal. S'ils ont en plus la même unité, il devient orthonormé.

Pour calculer la distance entre deux points A(xa;ya) et B(xb;yb), utilise la formule magique : AB = √(xb-xa)²+(yb-ya)². C'est du Pythagore déguisé ! Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées ((xa+xb)/2 ; (ya+yb)/2).

Astuce : Retiens que cette formule de distance fonctionne uniquement dans un repère orthonormé !

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Les vecteurs et leurs coordonnées

Les vecteurs sont tes nouveaux meilleurs amis en géométrie analytique ! Ils te donnent direction et longueur d'un coup.

Une base (i⃗, j⃗) est formée par deux vecteurs non nuls et non colinéaires. Si ces vecteurs sont perpendiculaires et de même norme, ta base est orthonormée. Tout vecteur u⃗ s'écrit alors u⃗ = xi⃗ + yj⃗, avec des coordonnées (x ; y).

Pour un vecteur AB⃗ entre les points A(xa;ya) et B(xb;yb), ses coordonnées sont (xb-xa ; yb-ya). La norme de u⃗(x;y) se calcule avec ||u⃗|| = √x2+y2x²+y². Les opérations sur les vecteurs deviennent un jeu d'enfant : tu additionnes ou multiplies coordonnée par coordonnée !

Bon à savoir : Les coordonnées d'un vecteur ne dépendent pas du point de départ, seulement de la direction et de la longueur !

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La colinéarité des vecteurs

Comprendre la colinéarité, c'est déchiffrer quand deux vecteurs pointent dans la même direction (ou opposée). Cette notion est super utile pour résoudre plein de problèmes !

Deux vecteurs u⃗(x;y) et v⃗(x';y') sont colinéaires quand leur déterminant det(u⃗,v⃗) = xy' - x'y vaut zéro. Si ce calcul donne autre chose que zéro, tes vecteurs ne sont pas colinéaires.

Cette propriété débloquerait trois situations importantes : les droites (AB) et (CD) sont parallèles si AB⃗ et CD⃗ sont colinéaires. Les points A, B, C sont alignés si AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires. Enfin, (AB⃗, AC⃗) forme une base si ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

Truc mnémotechnique : Pour le déterminant, pense "produits en croix" puis soustraction !

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Applications pratiques

Maintenant, mettons tout en pratique avec des exemples concrets ! C'est là que tu verras à quel point ces outils sont puissants.

Pour vérifier si trois points A, B, C sont alignés, calcule AB⃗ et BC⃗, puis leur déterminant. S'il vaut zéro, bingo ! Ils sont sur la même droite. Exemple : avec A2;−32;-3, B−4;5-4;5, C(5;7), on trouve AB⃗−6;8-6;8 et BC⃗9;−129;-12, et det(AB⃗,BC⃗) = 0.

Pour des droites parallèles, même principe : calcule les vecteurs directeurs et vérifie leur colinéarité. Si le déterminant n'est pas nul, les droites ne sont pas parallèles. Avec D1;−61;-6, E(0;8), F−2;11-2;11, G−1;−4-1;-4, on obtient DE⃗−1;14-1;14 et FG⃗1;−151;-15, donc det(DE⃗,FG⃗) = 1 ≠ 0.

Conseil exam : Vérifie toujours tes calculs de coordonnées avant de calculer le déterminant !

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