Matières

Maths

30 nov. 2025

2 pages

Comprendre le produit scalaire : Explications avec formules

Elif Eren @elif.0355

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Le produit scalaire est un concept fondamental en mathématiques qui permet d'analyser les relations entre vecteurs. Cette notion... Affiche plus

Broduit Scalave
-> Le produits de deux vecteurs.
orthogaux est mul?
Si AB 1 CD aloes AB.CD
-> AB. AC = 11 AB || x ||AC || X COS BACK
Si AB,

Produit Scalaire Propriétés et Formules

Tu as sûrement déjà manipulé des vecteurs, mais le produit scalaire va te permettre d'aller plus loin ! C'est un nombre réel (et non un vecteur) qui traduit la relation entre deux vecteurs.

Quand deux vecteurs sont perpendiculaires (orthogonaux), leur produit scalaire est toujours nul. Ainsi, si $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{CD}$ , alors $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0$ . Ce n'est pas compliqué, mais très utile !

La formule générale du produit scalaire est $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = ||\overrightarrow{AB}|| \times ||\overrightarrow{AC}|| \times \cos \widehat{BAC}$ . Dans un repère orthonormé, si tu as $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$ , alors leur produit scalaire s'écrit simplement $\vec{u}.\vec{v} = xx' + yy'$ .

Le produit scalaire respecte la distributivité $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w}$ . Et n'oublie pas ces formules pratiques $\vec{u}^2 = x^2 + y^2$ et $(\vec{u}+\vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u}.\vec{v} + \vec{v}^2$ .

💡 Astuce Le théorème d'Al-Kashi (généralisation du théorème de Pythagore) s'exprime facilement avec le produit scalaire $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2(AC)(BC)\cos \hat{ACB}$ .

Applications et Théorèmes Utiles

Le produit scalaire s'applique parfaitement pour résoudre des problèmes concrets. Le théorème de la médiane est particulièrement utile si I est le milieu du segment $AB$ , alors $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}$ .

Ce théorème te permet de déterminer des ensembles de points dans le plan. Par exemple, si tu cherches l'ensemble des points M tels que MI = 6, tu obtiendras un cercle de centre I et de rayon 6. Si MI ≤ 5, tu auras un disque (cercle inclus).

N'oublie pas que la distance entre deux points A et B se calcule avec la formule $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ . Cette formule est souvent utile en complément du produit scalaire.

🔑 À retenir La relation de Chasles $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ combinée au produit scalaire permet de résoudre de nombreux problèmes géométriques qui semblent complexes au premier abord.

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

Stefan S

utilisateur iOS

Samantha Klich

utilisatrice Android

Anna

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Thomas R

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Leny

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Elif Eren

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Le produit scalaire est un concept fondamental en mathématiques qui permet d'analyser les relations entre vecteurs. Cette notion offre des outils puissants pour résoudre des problèmes géométriques et trigonométriques.

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Tu as sûrement déjà manipulé des vecteurs, mais le produit scalaire va te permettre d'aller plus loin ! C'est un nombre réel (et non un vecteur) qui traduit la relation entre deux vecteurs.

La formule générale du produit scalaire est : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = ||\overrightarrow{AB}|| \times ||\overrightarrow{AC}|| \times \cos \widehat{BAC}$ . Dans un repère orthonormé, si tu as $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$ , alors leur produit scalaire s'écrit simplement : $\vec{u}.\vec{v} = xx' + yy'$ .

Le produit scalaire respecte la distributivité : $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w}$ . Et n'oublie pas ces formules pratiques : $\vec{u}^2 = x^2 + y^2$ et $(\vec{u}+\vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u}.\vec{v} + \vec{v}^2$ .

💡 Astuce : Le théorème d'Al-Kashi (généralisation du théorème de Pythagore) s'exprime facilement avec le produit scalaire : $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2(AC)(BC)\cos \hat{ACB}$ .

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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