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Méthodes d'Optimisation des Fonctions

test de la seconde dérivée

Maths

3 déc. 2025

90

3 pages

Les dérivées - Révision spé maths terminale

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Manon @manon_rppl

Les dérivées sont un concept fondamental en mathématiques qui vous permet d'analyser le comportement des fonctions. Elles sont... Affiche plus

Formules: KER . 0 1 a 2x 3x² f(x): 500 Derivatiem. Dérivés d'une somme Produit de ut par une constante k Dérivée d'un produit Dérivés de l'i

Formules de dérivation et applications

La dérivation repose sur des formules essentielles à mémoriser. Pour les fonctions de base, rappelez-vous que la dérivée d'une constante est 0, d'une fonction affine ax+bax+b est a, et d'une puissance xnx^n est nxn−1nx^{n-1}. Les fonctions trigonométriques suivent leurs propres règles sin⁡(x)\sin(x) devient cos⁡(x)\cos(x) et cos⁡(x)\cos(x) devient −sin⁡(x)-\sin(x).

La dérivée nous renseigne directement sur le sens de variation d'une fonction. Si f′(x)>0f'(x) > 0 sur un intervalle, alors ff y est strictement croissante. À l'inverse, si f′(x)<0f'(x) < 0, alors ff y est strictement décroissante. Et si f′(x)=0f'(x) = 0 partout, la fonction est constante.

Pour trouver les extremums locaux (maximums ou minimums), cherchez les points où f′(x)=0f'(x) = 0. Quand la dérivée s'annule en changeant de signe en un point, ce point correspond à un extremum local de la fonction.

💡 Astuce pour les extremums Lorsque f′(x)f'(x) passe de positive à négative en un point, on a un maximum local. Lorsqu'elle passe de négative à positive, on a un minimum local.

Formules: KER . 0 1 a 2x 3x² f(x): 500 Derivatiem. Dérivés d'une somme Produit de ut par une constante k Dérivée d'un produit Dérivés de l'i

Composition de fonctions et dérivées avancées

La composition de fonctions est une opération notée f=v∘uf = v \circ u, qui signifie f(x)=v(u(x))f(x) = v(u(x)). Cette notion est cruciale car elle apparaît dans de nombreux problèmes mathématiques. Pour calculer la dérivée d'une fonction composée, on utilise la formule f′(x)=u′(x)×v′(u(x))f'(x) = u'(x) \times v'(u(x)).

Cette formule vous permet de dériver des expressions complexes en les décomposant. Par exemple, pour dériver u(x)\sqrt{u(x)}, on applique la formule avec v(u)=uv(u) = \sqrt{u}, ce qui donne f′(x)=u′(x)2u(x)f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}. Pour la dérivée de u(x)nu(x)^n, on obtient f′(x)=n×u(x)n−1×u′(x)f'(x) = n \times u(x)^{n-1} \times u'(x).

La convexité et la concavité sont des propriétés géométriques importantes des courbes. Une fonction est convexe lorsque sa courbe se situe en-dessous de chacune de ses cordes (segments reliant deux points de la courbe). Inversement, elle est concave quand sa courbe se trouve au-dessus de ses cordes.

🔍 Visualisation Imaginez une fonction convexe comme un bol si vous placez une bille à l'intérieur, elle roule vers le fond. Une fonction concave ressemblerait à un dôme.

Formules: KER . 0 1 a 2x 3x² f(x): 500 Derivatiem. Dérivés d'une somme Produit de ut par une constante k Dérivée d'un produit Dérivés de l'i

Convexité et points d'inflexion

La convexité d'une fonction peut être analysée à l'aide de sa dérivée seconde. Une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe se situe au-dessus de chacune de ses tangentes, ce qui équivaut à dire que f′′(x)≥0f''(x) \geq 0. À l'inverse, elle est concave si sa courbe se trouve en-dessous de ses tangentes, c'est-à-dire si f′′(x)≤0f''(x) \leq 0.

Un point d'inflexion est un point où la courbe change de courbure, passant de convexe à concave ou inversement. Géométriquement, c'est un point où la courbe traverse sa tangente. Pour identifier un point d'inflexion en x=ax = a, il faut vérifier que f′′(a)=0f''(a) = 0 et que f′′f'' change de signe en aa.

La convexité nous aide à comprendre le "rythme" de variation d'une fonction. Une fonction convexe a une dérivée première croissante, ce qui signifie que sa pente augmente constamment (ou reste stable). Une fonction concave a une dérivée première décroissante, sa pente diminue donc progressivement.

🧠 Réflexion pratique Lorsque vous étudiez une fonction, analyser sa convexité vous permet de déterminer si son taux de croissance accélère (convexe) ou ralentit (concave) - une information précieuse pour comprendre son comportement global!

Si on te demande...

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Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

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•

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Formules de dérivation et applications

La dérivation repose sur des formules essentielles à mémoriser. Pour les fonctions de base, rappelez-vous que la dérivée d'une constante est 0, d'une fonction affine ax+bax+b est a, et d'une puissance xnx^n est nxn−1nx^{n-1}. Les fonctions trigonométriques suivent leurs propres règles : sin⁡(x)\sin(x) devient cos⁡(x)\cos(x) et cos⁡(x)\cos(x) devient −sin⁡(x)-\sin(x).

La dérivée nous renseigne directement sur le sens de variation d'une fonction. Si f′(x)>0f'(x) > 0 sur un intervalle, alors ff y est strictement croissante. À l'inverse, si f′(x)<0f'(x) < 0, alors ff y est strictement décroissante. Et si f′(x)=0f'(x) = 0 partout, la fonction est constante.

Pour trouver les extremums locaux (maximums ou minimums), cherchez les points où f′(x)=0f'(x) = 0. Quand la dérivée s'annule en changeant de signe en un point, ce point correspond à un extremum local de la fonction.

💡 Astuce pour les extremums : Lorsque f′(x)f'(x) passe de positive à négative en un point, on a un maximum local. Lorsqu'elle passe de négative à positive, on a un minimum local.

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Composition de fonctions et dérivées avancées

La composition de fonctions est une opération notée f=v∘uf = v \circ u, qui signifie f(x)=v(u(x))f(x) = v(u(x)). Cette notion est cruciale car elle apparaît dans de nombreux problèmes mathématiques. Pour calculer la dérivée d'une fonction composée, on utilise la formule : f′(x)=u′(x)×v′(u(x))f'(x) = u'(x) \times v'(u(x)).

Cette formule vous permet de dériver des expressions complexes en les décomposant. Par exemple, pour dériver u(x)\sqrt{u(x)}, on applique la formule avec v(u)=uv(u) = \sqrt{u}, ce qui donne f′(x)=u′(x)2u(x)f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}. Pour la dérivée de u(x)nu(x)^n, on obtient f′(x)=n×u(x)n−1×u′(x)f'(x) = n \times u(x)^{n-1} \times u'(x).

La convexité et la concavité sont des propriétés géométriques importantes des courbes. Une fonction est convexe lorsque sa courbe se situe en-dessous de chacune de ses cordes (segments reliant deux points de la courbe). Inversement, elle est concave quand sa courbe se trouve au-dessus de ses cordes.

🔍 Visualisation : Imaginez une fonction convexe comme un bol : si vous placez une bille à l'intérieur, elle roule vers le fond. Une fonction concave ressemblerait à un dôme.

Formules: KER . 0 1 a 2x 3x² f(x): 500 Derivatiem. Dérivés d'une somme Produit de ut par une constante k Dérivée d'un produit Dérivés de l'i

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Convexité et points d'inflexion

La convexité d'une fonction peut être analysée à l'aide de sa dérivée seconde. Une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe se situe au-dessus de chacune de ses tangentes, ce qui équivaut à dire que f′′(x)≥0f''(x) \geq 0. À l'inverse, elle est concave si sa courbe se trouve en-dessous de ses tangentes, c'est-à-dire si f′′(x)≤0f''(x) \leq 0.

Un point d'inflexion est un point où la courbe change de courbure, passant de convexe à concave ou inversement. Géométriquement, c'est un point où la courbe traverse sa tangente. Pour identifier un point d'inflexion en x=ax = a, il faut vérifier que f′′(a)=0f''(a) = 0 et que f′′f'' change de signe en aa.

La convexité nous aide à comprendre le "rythme" de variation d'une fonction. Une fonction convexe a une dérivée première croissante, ce qui signifie que sa pente augmente constamment (ou reste stable). Une fonction concave a une dérivée première décroissante, sa pente diminue donc progressivement.

🧠 Réflexion pratique : Lorsque vous étudiez une fonction, analyser sa convexité vous permet de déterminer si son taux de croissance accélère (convexe) ou ralentit (concave) - une information précieuse pour comprendre son comportement global!

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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super application pour réviser je révise tout les soirs

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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