Définition et vocabulaire des fonctions

Une fonction est un procédé qui associe à chaque nombre réel x un unique nombre réel, noté f(x). L'ensemble de définition représente toutes les valeurs de x pour lesquelles f(x) existe.

La courbe représentative d'une fonction f est l'ensemble des points de coordonnées (x; f(x)) où x appartient à l'ensemble de définition. Pour qu'un point M(x; y) appartienne à cette courbe, il faut que x soit dans l'ensemble de définition et que y = f(x).

💡 Pour reconnaître une fonction sur un graphique, rappelez-vous qu'une courbe représente une fonction si et seulement si chaque valeur en abscisse correspond à une unique valeur en ordonnée.

Une courbe ne représente pas une fonction si on peut tracer une droite verticale qui coupe la courbe en plusieurs points. C'est ce qu'on appelle parfois le "test de la droite verticale".

Lecture graphique

À partir de la courbe représentative d'une fonction, on peut déterminer de nombreuses informations essentielles :

L'ensemble de définition se lit sur l'axe des abscisses. Par exemple, Df = [-4; 6] signifie que la fonction est définie uniquement entre -4 et 6 inclus. Les images de valeurs particulières comme f(-1) = 3, f(2) = 4 ou f(0) = 2 se lisent en traçant une verticale depuis l'abscisse puis une horizontale jusqu'à l'axe des ordonnées.

Les antécédents d'une valeur sont les abscisses des points de la courbe ayant cette valeur en ordonnée. Par exemple, si f(x) = 3, alors x peut être égal à -1, 1 ou 3.

🔍 Le signe d'une fonction est crucial pour résoudre des inéquations. Il se détermine en regardant si la courbe est au-dessus (f(x) ≥ 0) ou en-dessous (f(x) ≤ 0) de l'axe des abscisses.

On peut résumer ces informations dans un tableau de signe qui montre clairement où la fonction est positive, négative ou nulle.

Calculs avec les fonctions

Pour une fonction définie par une expression comme f(x) = x² + 2 - 5x sur [-4; 10], on peut effectuer différents calculs.

Pour calculer l'image d'une valeur, on remplace x par cette valeur dans l'expression. Par exemple, f(3) = 3² + 2 - 5×3 = 9 + 2 - 15 = -4.

Pour trouver les antécédents d'une valeur, on résout l'équation f(x) = cette valeur. Par exemple, pour f(x) = 2, on résout x² - 5x = 0, ce qui donne x = 0 ou x = 5.

📌 Les équations du type f(x) = k reviennent à chercher les antécédents de k, c'est-à-dire les valeurs de x dont l'image par f est k.

La résolution graphique d'équations et d'inéquations est particulièrement intuitive. Pour une équation f(x) = 2, les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale d'équation y = 2. Pour f(x) = 0, on cherche les points où la courbe coupe l'axe des abscisses.

Résolution graphique d'inéquations

Les inéquations se résolvent aussi graphiquement de façon très visuelle.

Pour f(x) < 0, les solutions sont les abscisses des points de la courbe situés strictement en-dessous de l'axe des abscisses. Pour f(x) > -2, ce sont les abscisses des points situés strictement au-dessus de la droite d'équation y = -2.

Quand on compare deux fonctions, comme dans f(x) = h(x), les solutions sont les abscisses des points d'intersection entre les courbes Cf et Ch. Pour f(x) ≥ h(x), on cherche les abscisses des points où la courbe de f est au-dessus ou confondue avec celle de h.

💪 Vous maîtrisez la résolution graphique quand vous pouvez visualiser une inéquation comme une zone du plan où une courbe est située par rapport à une référence (axe ou autre courbe).

Cette approche graphique vous donne une excellente intuition des solutions sans avoir à faire de longs calculs algébriques. C'est un outil puissant que vous utiliserez souvent en mathématiques et dans d'autres sciences comme la physique ou l'économie.