Mathématiques

Continuité et Discontinuités des Fonctions

continuité

•

17 janv. 2026

•

3 pages

Comprendre les fonctions : convexité et continuité

Lea

@happy2beehere

La convexité et la continuité sont des concepts fondamentaux en... Affiche plus

1 / 3

1- Convexité
A
3
A
af
ру
o
math
Les fonctions!
a
fonctions convexes.
B
>
of est en dessous
des sécantes entre
A et BEI.
of est au dessus.
de

Convexité des fonctions

La convexité d'une fonction se détermine par la position de sa courbe par rapport aux droites sécantes et tangentes. Pour une fonction convexe, la courbe se situe toujours en dessous des droites sécantes reliant deux points quelconques de la courbe. De plus, la courbe reste au-dessus de toutes ses tangentes.

Une fonction est convexe si sa dérivée première est croissante sur un intervalle I, ou si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle. À l'inverse, une fonction concave se trouve au-dessus des droites sécantes et en dessous de ses tangentes, avec une dérivée première décroissante ou une dérivée seconde négative.

💡 Pour visualiser facilement : une fonction convexe forme comme un "sourire" (∪), tandis qu'une fonction concave ressemble à un "frown" (∩).

Certaines fonctions classiques ont des convexités caractéristiques : x² et eˣ sont convexes, tandis que √x est concave. Pour 1/x, la convexité dépend de l'intervalle : concave sur ℝ⁻* et convexe sur ℝ⁺*.

Continuité et points d'inflexion

Un point d'inflexion est un point où la convexité d'une fonction change. On peut le reconnaître de trois façons : c'est un point où la tangente traverse la courbe, où la convexité change, ou bien où la dérivée seconde s'annule et change de signe.

Une fonction est continue en un point a si la limite de f(x) quand x tend vers a est égale à f(a). Visuellement, cela signifie qu'on peut tracer la courbe sans lever le stylo. Mathématiquement, cela s'exprime par : lim(x→a) f(x) = f(a) ⟺ lim(h→0) f $a+h$ = f(a).

La continuité a un lien étroit avec la dérivabilité : si une fonction est dérivable en un point, alors elle est nécessairement continue en ce point. Inversement, une fonction continue n'est pas forcément dérivable.

⚠️ Attention aux fonctions discontinues comme la fonction partie entière E(x), qui présente un aspect en "escalier". Par exemple, E(π) = 3, E(5,1) = 5 et E(-π) = -4.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Le Théorème des Valeurs Intermédiaires est un outil puissant pour résoudre des équations. Il affirme que si f est continue sur $a;b$ , alors pour tout k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c dans $a;b$ tel que f(c) = k. Ce théorème fonctionne que f(a) < k < f(b) ou f(b) < k < f(a).

Un corollaire important du TVI permet de localiser les zéros d'une fonction : si f est continue sur $a;b$ et que f(a)×f(b) < 0, alors l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle $a;b$ .

Pour les fonctions continues et strictement monotones, le TVI garantit qu'il existe un unique réel c dans $a;b$ tel que f(c) = k. Cette unicité nous permet de résoudre des équations par des méthodes numériques comme la dichotomie ou le balayage.

🔍 Application pratique : Pour résoudre x³ = 5 avec f(x) = x³ qui est continue et croissante, on peut utiliser la dichotomie en partant de l'intervalle $1;2$ (puisque 1³ < 5 < 2³) et en réduisant progressivement jusqu'à obtenir x ≈ 1,71.

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