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Distributions de Probabilités et Variables Aléatoires

Bernoulli Trials

Maths301Mis à jour 9 sept. 20263 pages

Comprendre les lois discrètes : Bernoulli, binomiales et plus

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Laura@laura_brlh
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Les lois discrètes de Bernoulli, binomiale et géométrique sont des outils mathématiques essentiels pour comprendre les probabilités dans des situations réelles. Ces concepts te permettront de résoudre des problèmes concrets, comme calculer les chances de réussir un certain nombre d'exercices ou déterminer combien d'essais sont nécessaires pour obtenir un succès.
Les lois discrètes (2) – page 1

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Coefficients binomiaux et loi de Bernoulli

Les coefficients binomiaux sont la base de tout ce qui suit en probabilités discrètes. Ils te permettent de compter le nombre de façons d'obtenir k succès parmi n tentatives.

La notation (nk)\binom{n}{k} se lit "k parmi n" et représente exactement cela : combien de chemins différents mènent à k succès. Par exemple, si tu lances une pièce 3 fois, (32)\binom{3}{2} te dira combien de façons tu peux obtenir exactement 2 faces.

Retiens ces formules de base : (n0)=1\binom{n}{0} = 1, (n1)=n\binom{n}{1} = n, et surtout (nn−k)=(nk)\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}. Cette dernière propriété est très utile pour simplifier tes calculs !

💡 Astuce pratique : Pour calculer rapidement (54)\binom{5}{4}, utilise la propriété de symétrie : (54)=(51)=5\binom{5}{4} = \binom{5}{1} = 5.

Les lois discrètes (2) – page 2

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Triangle de Pascal et loi binomiale

Le triangle de Pascal te donne une méthode géniale pour construire les coefficients binomiaux. La relation clé est : (nk)+(nk+1)=(n+1k+1)\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}.

La loi binomiale entre en jeu quand tu répètes n fois la même expérience de façon indépendante. Si X compte le nombre de succès, alors X suit une loi binomiale B(n,p).

La formule magique est : P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}. L'espérance vaut E(X) = np et la variance V(X) = np1−p1-p. Ces formules sont à connaître par cœur pour le bac !

💡 Exemple concret : Si tu lances 10 pièces équilibrées, le nombre de faces suit B(10; 0,5). Tu auras en moyenne 5 faces avec un écart-type de 1,58.

Les lois discrètes (2) – page 3

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Loi géométrique

La loi géométrique répond à cette question : "Combien d'essais faut-il pour obtenir le premier succès ?" C'est très différent de la loi binomiale car ici, on ne fixe pas le nombre d'essais à l'avance.

Si X compte le nombre d'essais nécessaires jusqu'au premier succès, alors X suit une loi géométrique Gpp. Les formules essentielles sont : P(X=k)=p(1−p)k−1P(X = k) = p(1-p)^{k-1} et E(X)=1pE(X) = \frac{1}{p}.

Les probabilités cumulées sont particulièrement utiles : P(X≤k)=1−(1−p)kP(X ≤ k) = 1-(1-p)^k et P(X>k)=(1−p)kP(X > k) = (1-p)^k. Plus p est petit, plus l'espérance est grande, ce qui est logique !

💡 Application pratique : Si tu as 20% de chance de réussir à chaque tentative, il te faudra en moyenne 10,2=5\frac{1}{0,2} = 5 essais pour réussir.

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