Suite arithmétique

Une suite arithmétique est caractérisée par une différence constante entre deux termes consécutifs, appelée raison.

Définition: Une suite (Un) est arithmétique s'il existe un réel r tel que pour tout entier n, Un+1 = Un + r.

La formule explicite d'une suite arithmétique de premier terme U0 et de raison r est :

Un = U0 + n × r

Exemple: Si le premier terme est U1, on a : Un = U1 + $n-1$r

Les suites arithmétiques modélisent des évolutions à accroissement constant. Leur représentation graphique est une droite, car Un = f$n$ est une fonction affine.

Highlight: Pour vérifier si une suite est arithmétique, on calcule Un+1 - Un. Si cette différence est constante, la suite est arithmétique.

Somme des termes d'une suite arithmétique

La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique suit une formule spécifique :

S = (n × (premier terme + dernier terme)) / 2

Exemple: La somme des 100 premiers entiers naturels non nuls est $100 × (1 + 100)$ / 2 = 5050.

Cette formule est particulièrement utile pour calculer rapidement la somme de nombreux termes d'une suite arithmétique.

Formule de récurrence suite arithmétique: Un+1 = Un + r, où r est la raison de la suite.

Formule explicite suite arithmétique exemple: Un = U1 + $n-1$r, où U1 est le premier terme et r la raison.

Highlight: La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique peut être calculée efficacement sans avoir à additionner chaque terme individuellement.

Notion de suite numérique et mode de génération

Une suite numérique est une application définie de N dans R. Le terme général de la suite, noté Un, représente l'image de n par la fonction u. Il existe deux principaux modes de génération pour définir une suite :

1. Formule explicite : Un = f$n$ La suite est définie directement en fonction de l'indice n.

2. Formule de récurrence : Un+1 = f(Un) Chaque terme est défini en fonction du terme précédent.

Définition: Une suite numérique est une fonction qui associe à chaque entier naturel n un nombre réel Un.

Exemple: Pour une suite numérique un+1 définie par récurrence, on donne l'expression de Un+1 en fonction de Un.

Highlight: Il est crucial de ne pas confondre Un et Un+1 lors de l'utilisation de formules de récurrence.