Tibochp

08/12/2025

Maths

Les suites

Mathématiques

Analyse des Suites et des Séries

suites arithmétiques

•

8 déc. 2025

•

11 pages

Comprendre les suites en mathématiques

Tibochp

@tibochp

Les suites mathématiques et leurs limites sont essentielles en terminale... Affiche plus

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# MATHS
CHAPITRE 2: SUITES

# LIMITE INFINIE

MATHEMATIQUE
@TIBOCHP

Définition

On dit que la suite ($u_n$) admet pour limite +00,
si " est

Limites infinies et finies

Imagine une suite comme une course où les termes deviennent de plus en plus grands ou se rapprochent d'une valeur précise. Quand on dit qu'une suite tend vers l'infini, ça veut dire que ses termes deviennent aussi grands qu'on veut à partir d'un certain rang.

Par exemple, la suite $u_n = n^2$ explose littéralement : $u_{100} = 10000$ , $u_{1000} = 1000000$ . Peu importe le nombre que tu choisis, la suite finira par le dépasser !

À l'inverse, une suite convergente se rapproche d'une valeur fixe L. Tous les termes finissent par être très proches de cette limite, comme s'ils étaient attirés par un aimant. C'est beaucoup plus prévisible que les suites qui partent à l'infini !

💡 Astuce : Une suite qui tend vers l'infini = divergente, une suite qui tend vers un nombre = convergente

Suites usuelles et opérations sur les limites

Tu dois absolument connaître ces limites de base : $\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$ , $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ , et leurs variantes avec les puissances. C'est ton kit de survie !

Pour calculer des limites plus complexes, tu combines ces résultats avec les règles d'opérations. Additionner, multiplier ou diviser des limites suit des règles précises qu'il faut maîtriser.

Attention aux formes indéterminées comme $+\infty - \infty$ ou $\frac{0}{0}$ ! Quand tu tombes dessus, impossible de conclure directement - il faut utiliser des techniques spéciales pour s'en sortir.

💡 Bon à savoir : Les formes indéterminées ne sont pas des erreurs, c'est juste que tu dois creuser plus !

Quotients et formes indéterminées

Le quotient de limites suit aussi des règles précises, mais gare aux pièges ! Diviser par zéro donne l'infini, mais $\frac{\infty}{\infty}$ ou $\frac{0}{0}$ sont des formes indéterminées qu'il faut traiter différemment.

Les principales formes indéterminées à retenir : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , et $\frac{0}{0}$ . Dès que tu en croises une, stop ! Il faut changer de stratégie.

Heureusement, tu as trois techniques pour lever une indétermination : la méthode "Buildoser" (factorisation), le théorème des gendarmes, et les théorèmes de comparaison. Chacune a ses situations préférées !

💡 Stratégie : Face à une forme indéterminée, commence toujours par essayer de factoriser

La méthode "Buildoser"

Cette technique porte un nom bizarre mais elle est redoutablement efficace ! Le principe : factoriser par le terme qui grandit le plus vite, puis simplifier.

Exemple concret : pour $\frac{n^3 + 5}{n^2 + 1}$ , tu factorises le numérateur par $n^3$ et le dénominateur par $n^2$ . Ça donne $\frac{n^3(1 + \frac{5}{n^3})}{n^2(1 + \frac{1}{n^2})}$ .

Après simplification, tu obtiens $n \times \frac{1 + \frac{5}{n^3}}{1 + \frac{1}{n^2}}$ . Les fractions tendent vers 0, donc le quotient tend vers 1, et comme $n$ tend vers l'infini, le résultat final est $+\infty$ .

💡 Méthode : Toujours factoriser par la plus haute puissance de n au numérateur ET au dénominateur

Justification de la méthode "Buildoser"

La dernière étape de "Buildoser" consiste à justifier rigoureusement ton calcul. Tu dois expliquer chaque limite utilisée en citant les règles.

D'abord, tu rappelles que $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = 0$ pour tout $p > 0$ . Ensuite, tu calcules la limite du quotient des parenthèses en appliquant les règles d'opérations.

Enfin, tu conclus par un produit : $\lim_{n \to \infty} n^2 \times \frac{1 + \frac{5}{n^3}}{1 + \frac{1}{n^2}} = +\infty \times 1 = +\infty$ . Cette étape de justification est cruciale pour avoir tous les points !

💡 Important : Une réponse juste sans justification = points en moins à l'examen

Théorème des gendarmes

Le théorème des gendarmes est parfait quand une suite est "coincée" entre deux autres qui ont la même limite. Si $u_n \leq v_n \leq w_n$ et que $u_n$ et $w_n$ tendent vers L, alors $v_n$ tend aussi vers L.

C'est comme si $v_n$ était un prisonnier escorté par deux gendarmes qui vont au même endroit - il n'a pas le choix, il doit suivre ! Cette image t'aidera à retenir le principe.

Cette technique est particulièrement utile pour les suites avec des oscillations, comme celles contenant $\sin(n)$ ou $\cos(n)$ , qui sont naturellement bornées entre -1 et 1.

💡 Visualisation : Dessine trois courbes pour bien voir comment la suite du milieu est "forcée" de converger

Théorèmes de comparaison

Les théorèmes de comparaison te permettent de conclure sur le comportement à l'infini d'une suite en la comparant à une autre plus simple. Si $u_n \leq v_n$ et que $u_n$ tend vers $+\infty$ , alors $v_n$ aussi.

L'idée est intuitive : si quelqu'un marche toujours derrière une personne qui accélère vers l'infini, il va aussi partir vers l'infini ! Même logique pour $-\infty$ en inversant l'inégalité.

Exemple pratique : pour $\lim_{n \to +\infty} n^2 + (-1)^n$ , tu remarques que $(-1)^n \geq -1$ , donc $n^2 + (-1)^n \geq n^2 - 1$ . Comme $n^2 - 1 \to +\infty$ , ta suite tend aussi vers $+\infty$ .

💡 Technique : Cherche toujours à encadrer ta suite compliquée par une suite plus simple

Suites majorées, minorées et bornées

Une suite majorée ne peut pas dépasser un certain plafond M, une suite minorée ne descend jamais sous un plancher m, et une suite bornée reste coincée entre les deux.

Ces concepts sont essentiels pour comprendre la convergence. C'est comme avoir des limites de vitesse : une suite bornée ne peut pas "s'échapper" vers l'infini.

Pour démontrer qu'une suite est majorée, tu utilises souvent la récurrence. Tu vérifies d'abord que le premier terme respecte la condition, puis tu montres que si c'est vrai au rang k, c'est aussi vrai au rang k+1.

💡 Image mentale : Majorée = plafond, minorée = plancher, bornée = pièce fermée

Démonstration par récurrence et théorème de convergence monotone

La récurrence pour prouver qu'une suite est majorée suit toujours le même plan : initialisation $vérifier pour n=0$ , hérédité $si vrai au rang k, alors vrai au rang k+1$ , puis conclusion.

Le théorème de convergence monotone est un résultat puissant : une suite croissante et majorée converge forcément ! Même chose pour une suite décroissante et minorée.

Ce théorème ne te donne pas la valeur de la limite, mais il garantit qu'elle existe. C'est déjà énorme pour résoudre certains exercices où on te demande juste de prouver la convergence.

💡 À retenir : Croissante + majorée = convergente (mais on ne connaît pas la limite)

Suites géométriques et leurs limites

Les suites géométriques $u_n = u_0 \times q^n$ ont un comportement qui dépend entièrement de la valeur de q. C'est un cas d'étude classique que tu dois maîtriser parfaitement.

Le tableau des limites est à connaître par cœur : si $|q| < 1$ , la suite tend vers 0 ; si $q = 1$ , elle est constante ; si $q > 1$ , elle explose vers $+\infty$ ; si $q \leq -1$ , elle diverge $sauf si $q = -1$ où elle oscille$ .

Attention au corollaire : une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ , une suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$ . C'est logique : sans barrière, elle part à l'infini !

💡 Mnémotechnique : Plus q est proche de 0, plus la suite "s'éteint" rapidement

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