Suites bornées et convergence
Imagine une suite comme un élève en cours : elle peut avoir des bornes qui l'encadrent ! Une suite est majorée si elle ne dépasse jamais une valeur M, minorée si elle reste toujours au-dessus d'une valeur m, et bornée si elle respecte les deux à la fois.
Les suites géométriques ont des comportements très prévisibles selon leur raison q. Si q>1, elles explosent vers l'infini ; si −1<q<1, elles tendent vers 0 ; si q=1, elles restent constantes. Par contre, si q<−1, elles oscillent sans limite !
La convergence suit des règles logiques : une suite croissante et majorée converge toujours, tout comme une suite décroissante et minorée. Si une suite croissante n'est pas majorée, elle file vers +∞ ; si une décroissante n'est pas minorée, elle plonge vers −∞.
À retenir : Monotonie + borne = convergence garantie ! C'est un théorème fondamental que tu utiliseras souvent.