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Maths

30 nov. 2025

118

3 pages

Comment déterminer le sens de variation des suites

Estelle @estelle_clvv

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Tu galères avec le sens de variation des suites ? Pas de panique ! Il existe trois méthodes... Affiche plus

$maths - LES SUITES - déterminer le sens de variation méthode 1: déterminer le signe de $u_{n+1} - u_n$ Pour tout $n \geq m_0$ $u_{m+1} -$

Méthode 1 La différence $u_{n+1} - u_n$

C'est la technique la plus directe pour étudier le sens de variation d'une suite ! Tu calcules simplement $u_{n+1} - u_n$ et tu regardes son signe.

Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour tout $n$ , alors ta suite est croissante. Si $u_{n+1} - u_n \leq 0$ , elle est décroissante. C'est aussi simple que ça !

Prenons l'exemple $u_n = n + \frac{1}{n}$ . On calcule $u_{n+1} - u_n = (n+1) + \frac{1}{n+1} - n - \frac{1}{n}$ . Après simplification, on obtient $1 - \frac{1}{n(n+1)}$ .

Comme $n(n+1) > 1$ pour $n \geq 1$ , on a $\frac{1}{n(n+1)} < 1$ , donc $u_{n+1} - u_n > 0$ . La suite est donc croissante !

Astuce Cette méthode fonctionne toujours, mais les calculs peuvent parfois être un peu longs. Courage, c'est souvent la plus sûre !

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Méthode 2 Le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$

Quand tous les termes de ta suite sont strictement positifs, cette méthode est géniale ! Tu calcules le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et tu le compares à 1.

Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1$ , ta suite est croissante. Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$ , elle est décroissante. Super pratique avec les suites géométriques !

Avec $u_n = 2^n \times 7^{-n}$ , on calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1} \times 7^{-(n+1)}}{2^n \times 7^{-n}}$ . Après simplification, on obtient $\frac{2}{7}$ .

Comme $\frac{2}{7} < 1$ , la suite est décroissante pour $n \geq 1$ . Facile non ?

Attention Cette méthode ne marche que si tous les termes sont de même signe (positifs ou négatifs) !

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Méthode 3 Étude de la fonction $f$

C'est la méthode la plus élégante ! Si tu peux écrire $u_n = f(n)$ où $f$ est une fonction continue, alors tu étudies juste la variation de $f$ .

Si $f$ est croissante sur un intervalle, alors $(u_n)$ est croissante sur cet intervalle. Même principe pour les suites décroissantes !

Prenons $u_n = 2n^2 - 5n + 3$ . On pose $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$ . C'est une parabole avec $a = 2 > 0$ , donc elle a un minimum en $x_0 = \frac{5}{4}$ .

$f$ est croissante sur $[\frac{5}{4}; +\infty[$ , donc $(u_n)$ est croissante à partir du rang 2 $puisque $\frac{5}{4} = 1,25$$ .

Bonus Cette méthode est parfaite pour les suites définies par des polynômes ou des fonctions classiques !

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