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Comment déterminer le sens de variation des suites

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Estelle @estelle_clvv

Tu galères avec le sens de variation des suites ?... Affiche plus

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maths - LES SUITES - déterminer le sens de variation méthode 1: déterminer le signe de $u_{n+1} - u_n$ Pour tout $n \geq m_0$ $u_{m+1} -

Méthode 1 : La différence un+1−unu_{n+1} - u_n

C'est la technique la plus directe pour étudier le sens de variation d'une suite ! Tu calcules simplement un+1−unu_{n+1} - u_n et tu regardes son signe.

Si un+1−un≥0u_{n+1} - u_n \geq 0 pour tout nn, alors ta suite est croissante. Si un+1−un≤0u_{n+1} - u_n \leq 0, elle est décroissante. C'est aussi simple que ça !

Prenons l'exemple un=n+1nu_n = n + \frac{1}{n}. On calcule un+1−un=(n+1)+1n+1−n−1nu_{n+1} - u_n = (n+1) + \frac{1}{n+1} - n - \frac{1}{n}. Après simplification, on obtient $1 - \frac{1}{nn+1n+1}$.

Comme n(n+1)>1n(n+1) > 1 pour n≥1n \geq 1, on a 1n(n+1)<1\frac{1}{n(n+1)} < 1, donc un+1−un>0u_{n+1} - u_n > 0. La suite est donc croissante !

Astuce : Cette méthode fonctionne toujours, mais les calculs peuvent parfois être un peu longs. Courage, c'est souvent la plus sûre !

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Méthode 2 : Le rapport un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n}

Quand tous les termes de ta suite sont strictement positifs, cette méthode est géniale ! Tu calcules le rapport un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} et tu le compares à 1.

Si un+1un≥1\frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1, ta suite est croissante. Si un+1un≤1\frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1, elle est décroissante. Super pratique avec les suites géométriques !

Avec un=2n×7−nu_n = 2^n \times 7^{-n}, on calcule un+1un=2n+1×7−(n+1)2n×7−n\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1} \times 7^{-(n+1)}}{2^n \times 7^{-n}}. Après simplification, on obtient 27\frac{2}{7}.

Comme 27<1\frac{2}{7} < 1, la suite est décroissante pour n≥1n \geq 1. Facile non ?

Attention : Cette méthode ne marche que si tous les termes sont de même signe (positifs ou négatifs) !

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Méthode 3 : Étude de la fonction ff

C'est la méthode la plus élégante ! Si tu peux écrire un=f(n)u_n = f(n) où ff est une fonction continue, alors tu étudies juste la variation de ff.

Si ff est croissante sur un intervalle, alors (un)(u_n) est croissante sur cet intervalle. Même principe pour les suites décroissantes !

Prenons un=2n2−5n+3u_n = 2n^2 - 5n + 3. On pose f(x)=2x2−5x+3f(x) = 2x^2 - 5x + 3. C'est une parabole avec a=2>0a = 2 > 0, donc elle a un minimum en x0=54x_0 = \frac{5}{4}.

ff est croissante sur [54;+∞[[\frac{5}{4}; +\infty[, donc (un)(u_n) est croissante à partir du rang 2 puisque $\frac{5}{4} = 1,25$.

Bonus : Cette méthode est parfaite pour les suites définies par des polynômes ou des fonctions classiques !

Si on te demande...

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Stefan Sutilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Tu galères avec le sens de variation des suites ? Pas de panique ! Il existe trois méthodes super efficaces pour déterminer si une suite est croissante ou décroissante. Maîtrise ces techniques et tu pourras résoudre n'importe quel exercice sur... Affiche plus

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C'est la technique la plus directe pour étudier le sens de variation d'une suite ! Tu calcules simplement un+1−unu_{n+1} - u_n et tu regardes son signe.

Si un+1−un≥0u_{n+1} - u_n \geq 0 pour tout nn, alors ta suite est croissante. Si un+1−un≤0u_{n+1} - u_n \leq 0, elle est décroissante. C'est aussi simple que ça !

Prenons l'exemple un=n+1nu_n = n + \frac{1}{n}. On calcule un+1−un=(n+1)+1n+1−n−1nu_{n+1} - u_n = (n+1) + \frac{1}{n+1} - n - \frac{1}{n}. Après simplification, on obtient $1 - \frac{1}{nn+1n+1}$.

Comme n(n+1)>1n(n+1) > 1 pour n≥1n \geq 1, on a 1n(n+1)<1\frac{1}{n(n+1)} < 1, donc un+1−un>0u_{n+1} - u_n > 0. La suite est donc croissante !

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Méthode 2 : Le rapport un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n}

Quand tous les termes de ta suite sont strictement positifs, cette méthode est géniale ! Tu calcules le rapport un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} et tu le compares à 1.

Si un+1un≥1\frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1, ta suite est croissante. Si un+1un≤1\frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1, elle est décroissante. Super pratique avec les suites géométriques !

Avec un=2n×7−nu_n = 2^n \times 7^{-n}, on calcule un+1un=2n+1×7−(n+1)2n×7−n\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1} \times 7^{-(n+1)}}{2^n \times 7^{-n}}. Après simplification, on obtient 27\frac{2}{7}.

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Méthode 3 : Étude de la fonction ff

C'est la méthode la plus élégante ! Si tu peux écrire un=f(n)u_n = f(n) où ff est une fonction continue, alors tu étudies juste la variation de ff.

Si ff est croissante sur un intervalle, alors (un)(u_n) est croissante sur cet intervalle. Même principe pour les suites décroissantes !

Prenons un=2n2−5n+3u_n = 2n^2 - 5n + 3. On pose f(x)=2x2−5x+3f(x) = 2x^2 - 5x + 3. C'est une parabole avec a=2>0a = 2 > 0, donc elle a un minimum en x0=54x_0 = \frac{5}{4}.

ff est croissante sur [54;+∞[[\frac{5}{4}; +\infty[, donc (un)(u_n) est croissante à partir du rang 2 puisque $\frac{5}{4} = 1,25$.

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