Génération par formule explicite

Définition et formule

Une suite associe un nombre réel à chaque entier naturel $n$.

• Formule explicite : permet de calculer directement n'importe quel terme via $u_n = f(n)$.
• Indépendance : pas besoin de connaître le terme précédent pour trouver $u_{100}$.

Exemple : Soit $u_n = 2n - 1$.

• $u_0 = 2 \times 0 - 1 = -1$
• $u_1 = 2 \times 1 - 1 = 1$

💡 Astuce : Attention à l'indice du premier terme, la suite peut commencer à $u_0$ ou à $u_1$.

Définition par récurrence

Le principe de récurrence

Chaque terme se calcule à partir du terme précédent.

• Relation de récurrence : formule de type $u_{n+1} = f(u_n)$.
• Premier terme : indispensable pour démarrer les calculs (souvent $u_0$).

Exemple : Soit $u_0 = -2$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 3}$.

• $u_1 = \sqrt{-2 + 3} = 1$
• $u_2 = \sqrt{1 + 3} = 2$

💡 Attention : Impossible de calculer $u_{10}$ directement sans avoir calculé tous les termes précédents.

Variations d'une suite

Sens de variation

Une suite possède un comportement global constant.

• Suite croissante : $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$.
• Suite décroissante : $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$.
• Suite monotone : suite qui garde toujours le même sens de variation.

💡 Astuce : Les premiers termes donnent une idée de la variation, mais ils ne constituent pas une preuve.

Méthode 1 : Différence des termes

Étude du signe de $u_{n+1} - u_n$

C'est la méthode de référence, utilisable dans presque tous les cas.

• Signe positif : si $u_{n+1} - u_n \geq 0$, la suite est croissante.
• Signe négatif : si $u_{n+1} - u_n \leq 0$, la suite est décroissante.

Exemple : Pour $u_n = n^2 - n - 2$ :

• $u_{n+1} - u_n = 2n$
• Comme $n \geq 0$, alors $2n \geq 0$, la suite est croissante.

💡 Astuce : Pense à bien développer et simplifier $(n+1)$ entre parenthèses pour éviter les erreurs de signe.

Méthode 2 : Fonction associée

Lien avec les fonctions

Cette méthode rapide s'applique uniquement aux formules explicites du type $u_n = f(n)$.

• Même sens : la suite possède les mêmes variations que la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$.
• Dérivée : on étudie souvent le signe de $f'(x)$ pour conclure.

Exemple : Pour $u_n = -2n + 5$, la fonction associée est $f(x) = -2x + 5$.

• $f$ est affine de coefficient directeur $-2 < 0$.
• $f$ est décroissante, donc la suite $(u_n)$ l'est aussi.

💡 Attention : Cette méthode ne fonctionne jamais pour les suites définies par récurrence.

Méthode 3 : Rapport des termes (Théorie)

Comparaison du quotient à 1

Cette méthode est idéale pour les suites avec des puissances ou des factorielles.

• Condition absolue : tous les termes de la suite doivent être strictement positifs ($u_n > 0$).
• Comparaison : on compare le résultat du quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ avec le nombre $1$.
• Règle : si le rapport est $\geq 1$, la suite croît ; s'il est $\leq 1$, elle décroît.

💡 Attention : N'oublie jamais de prouver que $u_n > 0$ avant d'utiliser cette méthode.

Méthode 3 : Rapport (Pratique)

Application avec des puissances

Calculer le rapport permet de simplifier les exposants $n$.

• Simplification : on utilise les règles des puissances comme $\frac{a^{n+1}}{a^n} = a$.

Exemple : Soit $u_n = \frac{2^n}{3^n}$ (termes strictement positifs).

• $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1}}{3^{n+1}} \times \frac{3^n}{2^n} = \frac{2}{3}$
• Comme $\frac{2}{3} < 1$, la suite est décroissante.

💡 Astuce : Écris toujours la division de fractions sous forme de multiplication par l'inverse pour ne pas t'emmêler.