Fonctions du second degré - Bases

Une fonction du second degré s'écrit sous la forme f(x) = ax² + bx + c où a ≠ 0. Ce type de fonction est fondamental et apparaît fréquemment dans vos problèmes de maths.

Lorsque vous résolvez l'équation f(x) = 0, vous trouvez les racines de la fonction, notées x₁ et x₂ quand le discriminant Δ est positif. Si Δ = 0, il n'y a qu'une seule racine x₁.

Le tableau de signes permet de visualiser où la fonction est positive ou négative :

• Quand Δ > 0 (deux racines) : la fonction a le signe de a avant x₁, le signe contraire de a entre x₁ et x₂, puis reprend le signe de a après x₂.
• Quand Δ = 0 (racine double) : la fonction conserve toujours le signe de a, sauf au point x₁ où elle s'annule.

💡 Astuce : Le coefficient a détermine l'orientation de la parabole - vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0. C'est un indice visuel rapide pour esquisser la fonction !

Cas particulier : absence de racines

Quand Δ < 0, la fonction du second degré ne possède aucune racine réelle. Cela signifie que la courbe ne coupe jamais l'axe des abscisses.

Dans ce cas, le tableau de signes se simplifie considérablement : la fonction garde constamment le signe de a sur tout son domaine de définition, de -∞ à +∞.

Cette situation correspond à une parabole qui reste entièrement au-dessus de l'axe des x (si a > 0) ou entièrement en-dessous (si a < 0). Votre graphique ne présentera donc aucun point d'intersection avec l'axe horizontal.

🔑 À retenir : Si vous trouvez Δ < 0 lors de la résolution d'un problème, vous pouvez immédiatement conclure que f(x) garde un signe constant, ce qui simplifie considérablement l'analyse !