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Opérations d'Addition en Mathématiques

Addition de vecteurs

Maths95Mis à jour 3 oct. 20262 pages

Comprendre les vecteurs en mathématiques

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Les vecteurs sont des objets mathématiques super utiles qui décrivent à la fois une direction, un sens et une longueur. Tu vas voir qu'ils simplifient énormément les calculs géométriques et permettent de résoudre plein de problèmes concrets !
Les vecteurs – page 1

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Les bases des vecteurs

Un vecteur possède trois caractéristiques essentielles : sa direction (la droite sur laquelle il se trouve), son sens (vers où il pointe) et sa norme (sa longueur). Imagine une flèche qui va du point A vers le point B : c'est exactement ça un vecteur AB→\overrightarrow{AB} !

Quand deux points sont confondus, on obtient le vecteur nul noté 0→\overrightarrow{0}. Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur - même s'ils ne sont pas au même endroit sur ta feuille.

Voici une astuce géniale : AB→\overrightarrow{AB} et DC→\overrightarrow{DC} sont égaux si et seulement si ABCD forme un parallélogramme. C'est un moyen rapide de vérifier tes calculs !

💡 Astuce : Pour additionner des vecteurs "bout à bout", utilise la relation de Chasles : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. Sinon, applique la règle du parallélogramme.

Les vecteurs – page 2

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Calculs et coordonnées dans un repère

Pour soustraire des vecteurs, retiens cette règle simple : soustraire un vecteur revient à additionner son opposé. Donc AB→−CD→=AB→+DC→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}, et AB→=−BA→\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}.

Dans un repère orthonormé (origine O, axes perpendiculaires et même unité), tout devient plus facile ! Un point a des coordonnées (x;y)(x ; y) tandis qu'un vecteur s'écrit (xy)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.

Pour additionner des vecteurs, tu additionnes leurs coordonnées : u⃗(32)+v⃗(16)=(48)\vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \vec{v} \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}. La norme d'un vecteur se calcule avec ∣∣u⃗∣∣=x2+y2||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}, et le milieu d'un segment a pour coordonnées (xA+xB2;yA+yB2)\left(\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2}\right).

💡 Formule clé : Si A(xA,yA)(x_A, y_A) et B(xB,yB)(x_B, y_B), alors AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} et AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.

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