Mathématiques

Continuité et Discontinuités des Fonctions

discontinuité amovible

•

Mis à jour Mar 9, 2026

•

6 pages

Limite de Fonction en Spé Maths

Angèle 🎀

@angele.blrn

Les limites de fonctions, c'est un peu comme analyser le... Affiche plus

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maths
Limite de fonction
→ exemple limite de fonction
•lim<sub>x→+∞</sub>1-3√x = ?
→lim<sub>x→+∞</sub>1 = 0
Par somme
lim<sub>x→+∞</sub>1 -

Calcul de limites par opérations

Calculer une limite de fonction, c'est déterminer vers quelle valeur tend une fonction quand x se rapproche d'un nombre ou de l'infini. La technique de base : tu décomposes ta fonction et tu utilises les règles d'opération.

Pour lim $x→+∞$ 1-3√x, tu calcules séparément : lim $x→+∞$ 1 = 1 et lim $x→+∞$ -3√x = -∞. Par somme des limites, tu obtiens -∞.

Même principe pour lim $x→-∞$ -x-3 $1-x²$ . Tu décomposes : lim $x→-∞$ -x = +∞ et lim $x→-∞$ -3 $1-x²$ = +∞, donc par somme = +∞.

Astuce : Pour les fractions de polynômes, retiens ces simplifications : x²/x = x, x²/x³ = 1/x, x/x³ = 1/x². Super utile pour simplifier avant de calculer !

Théorème de comparaison (des gendarmes)

Le théorème des gendarmes est parfait quand tu ne peux pas calculer directement une limite. L'idée : si tu peux encadrer ta fonction entre deux autres fonctions qui ont la même limite, alors ta fonction aura cette même limite.

Première étape : Tu encadres ta fonction. Par exemple, si g(x) = 4x²-10x+sin $1/x$ , tu utilises -1 ≤ sin $1/x$ ≤ 1 pour obtenir : 4x²-10x-1 ≤ g(x) ≤ 4x²-10x+1.

Deuxième étape : Tu calcules les limites des fonctions qui encadrent. Si lim $4x²-10x-1$ = lim $4x²-10x+1$ = L, alors lim g(x) = L par le théorème des gendarmes.

Rappel : Cette méthode marche particulièrement bien avec les fonctions trigonométriques (sin, cos) car elles sont bornées entre -1 et 1.

Limites latérales et étude de variations

Les limites à gauche et à droite sont cruciales près des valeurs interdites. Pour 1/x en 0 : quand x→0⁺, on a +∞, mais quand x→0⁻, on a -∞. Différentes limites = asymptote verticale !

Pour étudier les variations, tu commences par calculer la dérivée. Avec f(x) = x²/ $4-2x²$ , tu appliques la formule $u/v$ ' = $u'v-uv'$ /v².

Tu obtiens f'(x) = 4x/ $4-2x²$ ². Comme le dénominateur est toujours positif et que le numérateur a le même signe que x, la fonction est croissante quand x > 0 et décroissante quand x < 0.

Important : N'oublie jamais de vérifier le domaine de définition avant de conclure sur les variations !

Calcul de limites latérales détaillé

Avec f(x) = x/ $1-2x$ , tu veux les limites quand x tend vers 1/2. Première étape : tu identifies que 1-2x s'annule en x = 1/2, donc c'est là que ça devient intéressant.

Pour la limite à gauche $x→(1/2)⁻$ : le numérateur tend vers 1/2 et le dénominateur vers 0⁺ $car x < 1/2 donc 1-2x > 0$ . Résultat : +∞.

Pour la limite à droite $x→(1/2)⁺$ : le numérateur tend vers 1/2 et le dénominateur vers 0⁻ $car x > 1/2 donc 1-2x < 0$ . Résultat : -∞.

Conseil pratique : Utilise ta calculatrice graphique pour visualiser ces asymptotes verticales, ça aide énormément à comprendre !

Limites de référence essentielles

Ces limites de référence sont à connaître par cœur pour le bac ! Elles te serviront dans tous tes calculs de limites plus complexes.

Limites polynomiales : lim $x→+∞$ xⁿ = +∞, lim $x→-∞$ xⁿ = +∞ si n pair, -∞ si n impair. Pour les inverses : lim(x→0⁺) 1/x = +∞, lim(x→0⁻) 1/x = -∞.

Limites exponentielles : lim $x→+∞$ eˣ = +∞, lim $x→-∞$ eˣ = 0. Et les croissances comparées : lim $x→+∞$ xⁿeˣ = +∞, lim $x→-∞$ xⁿeˣ = 0.

Astuce mémo : L'exponentielle "gagne" toujours contre les polynômes à l'infini, mais "perd" contre eux quand x→-∞ !

Limites logarithmiques et croissances comparées

Le logarithme népérien a ses propres règles de limites. lim $x→+∞$ ln(x) = +∞ mais lim(x→0⁺) ln(x) = -∞. Attention au domaine : ln n'existe que pour x > 0 !

Les croissances comparées avec ln sont essentielles : lim $x→+∞$ ln(x)/x = 0 et lim $x→+∞$ x/ln(x) = +∞. Le polynôme "bat" le logarithme à l'infini.

Cas particulier en 0 : lim(x→0⁺) x ln(x) = 0. C'est une limite remarquable à retenir absolument pour les exercices de bac.

Hiérarchie des croissances : À l'infini, eˣ > xⁿ > ln(x). Cette règle te sauvera dans beaucoup d'exercices !

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Limites polynomiales : lim $x→+∞$ xⁿ = +∞, lim $x→-∞$ xⁿ = +∞ si n pair, -∞ si n impair. Pour les inverses : lim(x→0⁺) 1/x = +∞, lim(x→0⁻) 1/x = -∞.

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Cas particulier en 0 : lim(x→0⁺) x ln(x) = 0. C'est une limite remarquable à retenir absolument pour les exercices de bac.

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