Limites de fonctions et continuité

Les asymptotes sont comme des lignes invisibles que ta courbe approche sans jamais toucher. L'asymptote horizontale existe quand x tend vers l'infini et que f(x) tend vers un nombre fini k. Par exemple, avec f(x) = $2x²+1$/$x+5$, quand x → +∞, f(x) → 2, donc y = 2 est ton asymptote horizontale.

L'asymptote verticale apparaît quand x tend vers une valeur k et que f(x) tend vers l'infini. Avec g(x) = 1/$x-3$, quand x → 3, g(x) → +∞, donc x = 3 est ton asymptote verticale.

Une fonction continue n'a pas de "cassures" - tu peux tracer sa courbe sans lever ton stylo. Le théorème des valeurs intermédiaires te dit qu'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle a une solution unique à toute équation.

Astuce : Pour repérer une asymptote verticale, cherche les valeurs qui annulent le dénominateur !

Les formes indéterminées comme ∞-∞, 0×∞, ou ∞/∞ nécessitent des techniques spéciales pour calculer la limite. Tu ne peux pas les résoudre directement.

Les limites classiques à retenir : lim$x→+∞$ √x = +∞, lim$x→+∞$ 1/x = 0, lim(x→0⁺) 1/x = +∞.

Pour les fonctions composées, si lim f(x) = L et lim g(t) = M quand t→L, alors lim g(f(x)) = M. Les théorèmes de comparaison (minoration, majoration, gendarmes) te permettent de calculer des limites compliquées en "encadrant" ta fonction avec des fonctions plus simples.