Mathématiques

Limites de Fonctions et Asymptotes

limite

493

•

5 déc. 2025

•

5 pages

Comprendre les Limites de Fonctions

elegna

@elegna_zzer

Les limites de fonction, c'est un concept clé en maths... Affiche plus

1 / 5

Limites de fonction
def.
LIMITE INFINIE EN DO
On dit que la fonction F admet pour lim too
en + Do sif (oc) est aussi grd que l'on veut
pourv

Limite infinie et limite finie en l'infini

Tu vas voir, les limites en l'infini ne sont pas si compliquées ! Quand x devient très grand $vers +∞$ , on observe ce qui arrive aux valeurs de f(x).

Pour une limite infinie, f(x) devient aussi grande que tu veux dès que x est suffisamment grand. Imagine une fonction qui explose vers +∞ - ses valeurs n'ont plus de plafond !

Pour une limite finie, f(x) se rapproche d'un nombre précis (appelé λ) quand x grandit. Les valeurs de la fonction se "tassent" autour de ce nombre, comme si elles étaient attirées par lui.

💡 Astuce : Visualise toujours le comportement de la courbe pour mieux comprendre !

Asymptotes et limites classiques

Quand ta fonction a une limite finie en l'infini, tu obtiens une asymptote horizontale ! C'est une droite d'équation y = l que la courbe frôle sans jamais toucher.

Voici les limites incontournables à connaître par cœur :

$\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ (très utile !)
$\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$

Ces formules sont tes meilleures amies pour les calculs rapides. Apprends-les maintenant, tu me remercieras plus tard !

📝 À retenir : Ces limites de référence sont la base de tous tes calculs plus complexes.

Limites en un point et asymptotes verticales

Maintenant, on s'intéresse au comportement près d'un point précis ! Quand x se rapproche d'une valeur A, f(x) peut exploser vers ±∞.

Si $\lim_{x \to A} f(x) = +\infty$ $ou $-\infty$$ , tu obtiens une asymptote verticale d'équation x = A. La courbe "part à l'infini" près de cette droite verticale.

C'est typique des fonctions avec des divisions par zéro. Pense à $f(x) = \frac{1}{x-3}$ : quand x s'approche de 3, la fonction explose !

⚠️ Attention : Les asymptotes verticales apparaissent souvent aux points où le dénominateur s'annule.

Opérations sur les limites

Les opérations sur les limites suivent des règles précises - pas de panique, c'est logique ! Tu peux additionner, multiplier et diviser les limites selon des tableaux bien définis.

Pour la somme : L + L' = L + L', mais attention aux formes indéterminées comme ∞ - ∞ !

Pour le produit : applique la règle des signes, et souviens-toi que 0 × ∞ est indéterminé.

Pour le quotient : $\frac{L}{L'}$ quand tout va bien, mais $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$ sont des formes indéterminées à traiter spécialement.

🎯 Stratégie : Face à une forme indéterminée, factorise ou utilise les croissances comparées !

Théorèmes de comparaison et croissances comparées

Les théorèmes de comparaison sont tes outils de secours quand les calculs directs coinçent ! Si f(x) ≤ g(x) et que f tend vers +∞, alors g aussi.

Le théorème des gendarmes est génial : si g est "coincée" entre f et h qui tendent vers la même limite ℓ, alors g tend aussi vers ℓ !

Les croissances comparées te donnent des résultats puissants :

L'exponentielle $e^x$ bat toujours les puissances : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$
Le logarithme est plus faible : $\lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x^n} = 0$

🚀 Pro tip : Ces formules de croissance comparée résolvent instantanément de nombreux exercices !

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

Stefan S

utilisateur iOS

Samantha Klich

utilisatrice Android

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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Les limites de fonction, c'est un concept clé en maths de terminale qui te permet de comprendre comment se comporte une fonction quand x devient très grand ou se rapproche d'une valeur particulière. Maîtriser les limites, c'est essentiel pour réussir... Affiche plus

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Limite infinie et limite finie en l'infini

Tu vas voir, les limites en l'infini ne sont pas si compliquées ! Quand x devient très grand $vers +∞$ , on observe ce qui arrive aux valeurs de f(x).

Pour une limite infinie, f(x) devient aussi grande que tu veux dès que x est suffisamment grand. Imagine une fonction qui explose vers +∞ - ses valeurs n'ont plus de plafond !

Pour une limite finie, f(x) se rapproche d'un nombre précis (appelé λ) quand x grandit. Les valeurs de la fonction se "tassent" autour de ce nombre, comme si elles étaient attirées par lui.

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Quand ta fonction a une limite finie en l'infini, tu obtiens une asymptote horizontale ! C'est une droite d'équation y = l que la courbe frôle sans jamais toucher.

Voici les limites incontournables à connaître par cœur :

$\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ (très utile !)
$\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$

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Limites en un point et asymptotes verticales

Maintenant, on s'intéresse au comportement près d'un point précis ! Quand x se rapproche d'une valeur A, f(x) peut exploser vers ±∞.

Si $\lim_{x \to A} f(x) = +\infty$ $ou $-\infty$$ , tu obtiens une asymptote verticale d'équation x = A. La courbe "part à l'infini" près de cette droite verticale.

C'est typique des fonctions avec des divisions par zéro. Pense à $f(x) = \frac{1}{x-3}$ : quand x s'approche de 3, la fonction explose !

⚠️ Attention : Les asymptotes verticales apparaissent souvent aux points où le dénominateur s'annule.

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Pour la somme : L + L' = L + L', mais attention aux formes indéterminées comme ∞ - ∞ !

Pour le produit : applique la règle des signes, et souviens-toi que 0 × ∞ est indéterminé.

Pour le quotient : $\frac{L}{L'}$ quand tout va bien, mais $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$ sont des formes indéterminées à traiter spécialement.

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L'exponentielle $e^x$ bat toujours les puissances : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$
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