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Maths
11 déc. 2025
138
4 pages
Margaux 🥂🪩 @marg_.clmb
Les limites de suites, c'est comme découvrir où se dirige une suite de nombres quand elle continue à... Affiche plus
Une suite converge vers une limite ℓ quand ses termes se rapprochent de plus en plus de cette valeur. Cette limite est unique, et on l'écrit lim u_n = ℓ.
Quelques suites de référence à retenir absolument lim 1/n = 0, mais lim n = +∞ et lim n² = +∞. Ces formules de base te serviront dans plein d'exercices !
Quand une suite ne converge pas, elle diverge. Ça peut être vers +∞, vers -∞, ou alors elle n'a carrément pas de limite .
Astuce Mémorise bien les suites de référence, elles reviennent constamment dans les calculs de limites !
Pour calculer des limites complexes, tu peux additionner, multiplier ou diviser les limites selon des règles précises. Attention aux formes indéterminées comme ∞/∞ ou 0/0 !
Quand tu as une forme indéterminée avec des polynômes ou fractions rationnelles, factorise par le terme de plus haut degré. C'est la technique qui marche à tous les coups.
Le théorème des gendarmes est ton meilleur ami si u_n ≤ v_n ≤ w_n et que u_n et w_n tendent vers la même limite ℓ, alors v_n tend aussi vers ℓ. Super pratique pour "encadrer" une suite difficile !
Important Toute suite convergente est bornée, mais attention, l'inverse n'est pas vrai !
Pour les suites géométriques si -1 < q < 1, alors lim q^n = 0. Si q > 1, alors lim q^n = +∞.
Voici un exercice type avec la suite définie par u_{n+1} = (1/3)u_n + 2 et u_0 = 2. On doit prouver que 0 ≤ u_n ≤ u_{n+1} ≤ 3.
L'initialisation on vérifie pour n = 0. Avec u_1 = (1/3) × 2 + 2 = 2,66, on a bien 0 ≤ 2 ≤ 2,66 ≤ 3. ✓
L'hérédité si la propriété est vraie au rang k, on prouve qu'elle l'est aussi au rang k+1. En multipliant l'inégalité par 1/3 puis en ajoutant 2, on obtient la propriété suivante.
Conclusion la suite est croissante et majorée par 3. Donc elle converge obligatoirement !
Méthode Une suite croissante et majorée converge toujours. C'est un théorème fondamental à retenir.
Pour trouver la valeur de la limite, on utilise l'unicité de la limite. Si lim u_n = ℓ, alors lim u_{n+1} = ℓ aussi.
Comme u_{n+1} = (1/3)u_n + 2, on a ℓ = (1/3)ℓ + 2. Il suffit de résoudre cette équation !
ℓ - (1/3)ℓ = 2, donc (2/3)ℓ = 2, et finalement ℓ = 3. La suite converge vers 3, ce qui confirme notre majoration.
Astuce exam Pour les suites récurrentes, pose toujours lim u_n = lim u_{n+1} = ℓ dans la relation de récurrence !
Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.
Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
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Outils Intelligents NOUVEAU
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Google Play
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
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Sudenaz Ocak
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Une suite converge vers une limite ℓ quand ses termes se rapprochent de plus en plus de cette valeur. Cette limite est unique, et on l'écrit lim u_n = ℓ.
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Astuce : Mémorise bien les suites de référence, elles reviennent constamment dans les calculs de limites !
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Important : Toute suite convergente est bornée, mais attention, l'inverse n'est pas vrai !
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L'initialisation : on vérifie pour n = 0. Avec u_1 = (1/3) × 2 + 2 = 2,66, on a bien 0 ≤ 2 ≤ 2,66 ≤ 3. ✓
L'hérédité : si la propriété est vraie au rang k, on prouve qu'elle l'est aussi au rang k+1. En multipliant l'inégalité par 1/3 puis en ajoutant 2, on obtient la propriété suivante.
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Comme u_{n+1} = (1/3)u_n + 2, on a ℓ = (1/3)ℓ + 2. Il suffit de résoudre cette équation !
ℓ - (1/3)ℓ = 2, donc (2/3)ℓ = 2, et finalement ℓ = 3. La suite converge vers 3, ce qui confirme notre majoration.
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