Convergence et divergence des suites

Une suite converge vers une limite ℓ quand ses termes se rapprochent de plus en plus de cette valeur. Cette limite est unique, et on l'écrit lim u_n = ℓ.

Quelques suites de référence à retenir absolument : lim 1/n = 0, mais lim n = +∞ et lim n² = +∞. Ces formules de base te serviront dans plein d'exercices !

Quand une suite ne converge pas, elle diverge. Ça peut être vers +∞, vers -∞, ou alors elle n'a carrément pas de limite $comme la suite (-1)^n qui oscille entre -1 et +1$.

Astuce : Mémorise bien les suites de référence, elles reviennent constamment dans les calculs de limites !

Opérations sur les limites et théorèmes essentiels

Pour calculer des limites complexes, tu peux additionner, multiplier ou diviser les limites selon des règles précises. Attention aux formes indéterminées comme ∞/∞ ou 0/0 !

Quand tu as une forme indéterminée avec des polynômes ou fractions rationnelles, factorise par le terme de plus haut degré. C'est la technique qui marche à tous les coups.

Le théorème des gendarmes est ton meilleur ami : si u_n ≤ v_n ≤ w_n et que u_n et w_n tendent vers la même limite ℓ, alors v_n tend aussi vers ℓ. Super pratique pour "encadrer" une suite difficile !

Important : Toute suite convergente est bornée, mais attention, l'inverse n'est pas vrai !

Pour les suites géométriques $q^n$ : si -1 < q < 1, alors lim q^n = 0. Si q > 1, alors lim q^n = +∞.

Exemple pratique : démonstration par récurrence

Voici un exercice type avec la suite définie par u_{n+1} = (1/3)u_n + 2 et u_0 = 2. On doit prouver que 0 ≤ u_n ≤ u_{n+1} ≤ 3.

L'initialisation : on vérifie pour n = 0. Avec u_1 = (1/3) × 2 + 2 = 2,66, on a bien 0 ≤ 2 ≤ 2,66 ≤ 3. ✓

L'hérédité : si la propriété est vraie au rang k, on prouve qu'elle l'est aussi au rang k+1. En multipliant l'inégalité par 1/3 puis en ajoutant 2, on obtient la propriété suivante.

Conclusion : la suite est croissante $u_n ≤ u_{n+1}$ et majorée par 3. Donc elle converge obligatoirement !

Méthode : Une suite croissante et majorée converge toujours. C'est un théorème fondamental à retenir.

Calcul de la limite

Pour trouver la valeur de la limite, on utilise l'unicité de la limite. Si lim u_n = ℓ, alors lim u_{n+1} = ℓ aussi.

Comme u_{n+1} = (1/3)u_n + 2, on a ℓ = (1/3)ℓ + 2. Il suffit de résoudre cette équation !

ℓ - (1/3)ℓ = 2, donc (2/3)ℓ = 2, et finalement ℓ = 3. La suite converge vers 3, ce qui confirme notre majoration.

Astuce exam : Pour les suites récurrentes, pose toujours lim u_n = lim u_{n+1} = ℓ dans la relation de récurrence !