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Limites de Fonctions et Asymptotes

Limites à l'infini

299

•

6 déc. 2025

•

2 pages

Étudier les limites d'une fonction et de l'exponentielle

user profile picture

Lola

@loollaa

Les limites de fonctions, c'est un peu comme savoir où... Affiche plus

• X² (pair) *+& O O Limite O 8 8 X178 x^ (impair) x fonction 88 - +∞o - lim +∞o Formes indeterminées 0x±00 horizontal de for me e d'équation

Limites et règles fondamentales

Quand tu calcules des limites de fonctions, commence par identifier le type de fonction. Pour les puissances xnx^n, retiens que si nn est pair, la limite sera toujours +∞+\infty que $x$ tende vers $+\infty$ ou $-\infty$. Si nn est impair, tu gardes le signe : +∞+\infty vers +∞+\infty et −∞-\infty vers −∞-\infty.

Les suites géométriques qnq^n suivent des règles simples : si −1<q<1-1 < q < 1, la limite est 0. Si q≥1q ≥ 1, ça explose vers +∞+\infty. Et si q≤−1q ≤ -1, la suite diverge complètement.

Attention aux formes indéterminées ! Tu les reconnaîtras facilement : 0×±∞0 × ±∞, ±∞±∞±∞ ± ∞, 00\frac{0}{0}, ou ±∞±∞\frac{±∞}{±∞}. Dans ces cas, il faut utiliser des techniques spéciales.

Astuce clé : Pour les fonctions polynômes et rationnelles quand x→±∞x → ±∞, seul le terme de plus haut degré compte !

Les asymptotes se repèrent facilement : horizontale quand la limite donne un nombre réel équation $y = l$, verticale quand ça tend vers ±∞±∞ équation $x = a$.

• X² (pair) *+& O O Limite O 8 8 X178 x^ (impair) x fonction 88 - +∞o - lim +∞o Formes indeterminées 0x±00 horizontal de for me e d'équation

Dérivées et fonctions exponentielles

Pour tracer un tableau de variation, tu as trois étapes incontournables : calculer la dérivée, trouver où elle s'annule, puis déterminer son signe sur chaque intervalle. C'est la méthode qui marche à tous les coups !

Les fonctions exponentielles ont des comportements prévisibles. exe^x explose vers +∞+∞ quand xx augmente, mais se rapproche de 0 (sans jamais l'atteindre) quand xx devient très négatif. Pour e−xe^{-x}, c'est l'inverse : ça explose vers +∞+∞ quand xx devient très négatif.

La croissance comparée est un concept crucial : l'exponentielle exe^x grandit toujours plus vite que n'importe quel polynôme. Donc xnex\frac{x^n}{e^x} tend vers 0 quand x→+∞x → +∞, et xne−xx^n e^{-x} aussi.

Technique pro : Pour les formes indéterminées avec des polynômes, factorise d'abord ! Comme (x+3)(x−2)(x+3)(x-2) au lieu de x2+x−6x^2 + x - 6.

Quand tu tombes sur une forme indéterminée du type 00\frac{0}{0}, pense à factoriser le numérateur et le dénominateur pour simplifier l'expression avant de calculer la limite.



Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.

Les étudiants nous adorent — il ne manque plus que toi.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Ella

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Les limites de fonctions, c'est un peu comme savoir où va une fonction quand on pousse les valeurs à l'extrême. Tu vas apprendre les règles essentielles pour calculer ces limites et tracer des tableaux de variation comme un pro !

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Quand tu calcules des limites de fonctions, commence par identifier le type de fonction. Pour les puissances xnx^n, retiens que si nn est pair, la limite sera toujours +∞+\infty que $x$ tende vers $+\infty$ ou $-\infty$. Si nn est impair, tu gardes le signe : +∞+\infty vers +∞+\infty et −∞-\infty vers −∞-\infty.

Les suites géométriques qnq^n suivent des règles simples : si −1<q<1-1 < q < 1, la limite est 0. Si q≥1q ≥ 1, ça explose vers +∞+\infty. Et si q≤−1q ≤ -1, la suite diverge complètement.

Attention aux formes indéterminées ! Tu les reconnaîtras facilement : 0×±∞0 × ±∞, ±∞±∞±∞ ± ∞, 00\frac{0}{0}, ou ±∞±∞\frac{±∞}{±∞}. Dans ces cas, il faut utiliser des techniques spéciales.

Astuce clé : Pour les fonctions polynômes et rationnelles quand x→±∞x → ±∞, seul le terme de plus haut degré compte !

Les asymptotes se repèrent facilement : horizontale quand la limite donne un nombre réel équation $y = l$, verticale quand ça tend vers ±∞±∞ équation $x = a$.

• X² (pair) *+& O O Limite O 8 8 X178 x^ (impair) x fonction 88 - +∞o - lim +∞o Formes indeterminées 0x±00 horizontal de for me e d'équation

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Dérivées et fonctions exponentielles

Pour tracer un tableau de variation, tu as trois étapes incontournables : calculer la dérivée, trouver où elle s'annule, puis déterminer son signe sur chaque intervalle. C'est la méthode qui marche à tous les coups !

Les fonctions exponentielles ont des comportements prévisibles. exe^x explose vers +∞+∞ quand xx augmente, mais se rapproche de 0 (sans jamais l'atteindre) quand xx devient très négatif. Pour e−xe^{-x}, c'est l'inverse : ça explose vers +∞+∞ quand xx devient très négatif.

La croissance comparée est un concept crucial : l'exponentielle exe^x grandit toujours plus vite que n'importe quel polynôme. Donc xnex\frac{x^n}{e^x} tend vers 0 quand x→+∞x → +∞, et xne−xx^n e^{-x} aussi.

Technique pro : Pour les formes indéterminées avec des polynômes, factorise d'abord ! Comme (x+3)(x−2)(x+3)(x-2) au lieu de x2+x−6x^2 + x - 6.

Quand tu tombes sur une forme indéterminée du type 00\frac{0}{0}, pense à factoriser le numérateur et le dénominateur pour simplifier l'expression avant de calculer la limite.

Si on te demande...

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Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

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Esteban M

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Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

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